Demostrar

Question

Dada una función $f$ satisfacer las dos condiciones siguientes para todos los $x$ y $y$:
(a) $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$,
(b) $f(x)=1+xg(x)$, donde $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}g(x)=1$.
Demostrar que $f'(x)=f(x)$.

Lo único que sé es que es verdad $f'(x)=f(x)$ $x=\{0,1\}$, pero ¿cómo sabemos que es cierto para todas las $x$?

Answer 1

$$\begin{align} f(x+h)-f(x) & = f(x)\cdot f(h) - f(x), \quad\text{from (a)} \\[8pt] & = f(x)(f(h)-1) \\[8pt] & = f(x)\cdot hg(h),\quad \text{from (b)} \end {Alinee el} $$

Así $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}f(x)g(h)=f(x)$

Answer 2

Que $x_0$ ser un número real arbitrario.

Tenga en cuenta que usted tiene $f(0)=1$ de la segunda condición.

Tienes $$ f'(x_0) = \frac{f(x_0+y)-f(x_0) \lim\limits_ {y\to 0}} y = \lim\limits_{y\to 0} \frac{f(x_0)(f(y)-1)} y = f(x_0) \lim\limits_{y\to 0} \frac{f (y) -1} y = f(x_0)f'(0). $$

Desde que escribió ya han demostrado esta $0$ y $1$, sabes que $f'(0)=f(0)=1$. Por lo tanto la ecuación anterior es igual a $f'(x_0)=f(x_0)$.

Answer 3

Suponiendo que $f$ es diferenciable:

Usted tiene

$$f(x+y)=f(x)f(y)$$

$x$ De fijar y distinguir wrt $y$.

$$f'(x+y)=f(x)f'(y)$$

Que $y=0$ y obtener

$$f'(x)=f(x)f'(0)$$