¿cuándo el producto interior con vectores fijos determina la distribución conjunta?

Question

Dado un vector aleatorio $(X_1,X_2)$ . Si $aX_1 + bX_2$ es gaussiano para todos los pares $a,b$ entonces $(X_1,X_2)$ es conjuntamente normal. De forma más general, ¿es cierta la siguiente afirmación? Si $aX_1 + bX_2$ tiene la misma distribución que $aY_1 + bY_2$ para todos $a,b$ entonces $(X_1,X_2)$ tiene la misma distribución que $(Y_1,Y_2)$ . Sé que esto es cierto si $(Y_1,Y_2)$ es el retroceso bajo algún difeomorfismo de un vector normal conjunto. ¿Pero es cierto en general?

También si tengo una variación total limitada en la diferencia entre $aX_1 + bX_2$ y $aY_1 + bY_2$ para todos $a,b$ , digamos que por encima de $\epsilon$ ¿daría eso algún límite de variación total entre las distribuciones conjuntas?

Answer 1

La primera pregunta tiene una respuesta afirmativa. Si dos distribuciones bidimensionales tienen las mismas funciones características (2-dim), coinciden. La función característica de la distribución bidimensional de (X,Y) está determinada únicamente por las distribuciones de aX+bY para todo a y b. La demostración de este hecho (fórmula de inversión de Fourier) puede ayudar a resolver también la segunda cuestión.

Answer 2

La respuesta a la segunda pregunta es no. Escuché el siguiente contraejemplo indirectamente de Yitzhak Katznelson. Sea $X=(X_1,X_2)$ sea un vector aleatorio gaussiano estándar. Se puede construir $Y=(Y_1,Y_2)$ con una distribución rotacionalmente simétrica apoyada en (muchos) círculos centrados en el origen, tal que la distancia de variación total entre $X_1$ y $Y_1$ es arbitrariamente pequeño (lo que por simetría implica lo mismo para todos los marginales de una dimensión). Pero las distribuciones de $X$ y $Y$ son mutuamente singulares, por lo que su distancia de variación total es 2 (o 1, dependiendo de su normalización).