Demuestre que existe un subconjunto con suma >=1 tal que la suma entera restante se reduce en 1

Question

Dejar $ n \in \mathbb{N} $ y $ \frac{1}{w_1},\ldots, \frac{1}{w_n} $ para algunos (no necesariamente distintos) $ w_1,\ldots,w_n \in \mathbb{N} $ y $ w_1,\ldots,w_n \ge 2 $ se le dará. Supongamos que $ \sum_{i=1}^n \frac{1}{w_i} = W + r $ con $ W \in \mathbb{N}, W \ge 5 $ y $ \frac{1}{8} \le r < 1 $ . Demuestre que es posible encontrar $ K \subseteq \lbrace 1,\ldots,n \rbrace $ tal que $ \sum_{j \in K} \frac{1}{w_j} \ge 1 $ y $ \sum_{j \notin K} \frac{1}{w_j} \ge W-1 $ .

¿Puede el límite inferior $ \frac{1}{8} $ para $ r $ ¿se puede mejorar para que la afirmación siga siendo cierta?

Answer 1

Si aumenta su $\frac{1}{8}$ a $\frac{9}{31}$ entonces se puede hacer esto. Una versión un poco más fuerte de esto se demuestra aquí por Zhang y Yuan.