Círculos concéntricos y ortogonalidad

Question

Dejemos que $C_1, C_2$ sean dos círculos concéntricos en el plano complejo extendido. ¿Es cierto que si otro "círculo" $C$ es ortogonal a ambos $C_1$ y $C_2$ entonces $C$ debe ser una línea?

Creo que esto debe ser cierto, porque en el punto de intersección entre $C_1$ y $C$ la tangente de $C$ debe intersecar el centro de $C_1$ . Del mismo modo, esto también debe ser válido para $C_2$ . Pero como los centros de los círculos concéntricos son los mismos, creo que esto podría limitar $C$ a tomar la forma de una línea. Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea realmente cierto, o de cómo se podría demostrar la afirmación.

Answer 1

Su observación de que la tangente de $C$ en la intersección con $C_1$ pasa por el centro de $C_1$ es la clave. Del mismo modo, la tangente de $C_1$ en la intersección con $C$ pasa por el centro de $C$ . Si el radio de $C$ es $r$ y el radio de $C_1$ es $r_1$ la distancia entre los centros es $\sqrt{r^2+r_1^2}$ . Por la misma razón, si el radio de $C_2$ es $r_2$ la distancia entre los centros de $C_2$ y $C$ es $\sqrt{r^2+r_2^2}$ Estos no están de acuerdo a menos que $r$ es infinito.

Answer 2

(Esto probablemente debería ser un comentario)

Una forma de hacerlo es construir dos círculos concéntricos de radio arbitrario: $x^2+y^2=r_1^2$ y $x^2+y^2=r_2^2$ y un tercer círculo de radio arbitrario que es ortogonal a uno de los círculos. Ahora, intenta demostrar que las tangentes en los puntos de intersección de la otra circunferencia concéntrica y la circunferencia ortogonal a la primera no pueden ser perpendiculares...