Forma cuadrática derivada para la regresión

Question

Estoy interesado en la regresión multilineal para la distribución de Student.

Dejemos que $\mu_i=X_i\beta,$ para calcular los estimadores de la distribución multivariante de Student necesito calcular la siguiente derivada

$$\frac{\partial \bigl((y_i-x_i\beta)^{T}\Sigma^{-1}(y_i-x_i\beta)\bigr)}{ \partial \beta}.$$

Escribo $$Q(y_i;x_i\beta,\Sigma)=y_i^T\Sigma^{-1}y_i-2 \beta^T x_i^T\Sigma^{-1}y_i+\beta^Tx_i^T\Sigma^{-1}x_i\beta.$$

Ahora bien, si no me equivoco la derivada de $\beta^T x_i^T\Sigma^{-1}y_i$ respecto a $\beta$ es $ x_i^T\Sigma^{-1}y_i$ .

No estoy seguro de cómo puedo calcular la derivada de $$\beta^Tx_i^T\Sigma^{-1}x_i\beta\quad ?$$

Answer 1

$\beta ^T x ^T \Sigma^{-1} x \beta =(\Sigma ^{-1/2}x \beta)^T\Sigma ^{-1/2}x \beta=\|\Sigma ^{-1/2}x \beta\|_2^2$ tomando la derivada con respecto a $\beta$ del cuadrado de la norma utilizando la regla de la cadena. da como resultado $$ 2x^T \Sigma^{-1/2}(\Sigma^{-1/2}x\beta) = 2x^T\Sigma^{-1}x\beta . $$