Me sugieren que existe una razón fundamental por la cual hacemos exponenciación antes de la multiplicación antes de la adición: hacemos el "más poderoso" operación primera. No tengo ninguna evidencia clara de citar, aunque en la previa SE días Dr Matemáticas de acuerdo conmigo en que esta es la clave.
Para aclarar lo que quiero decir por "poderoso", el hyperoperation secuencia es una secuencia de operaciones aritméticas, empezando con lo más básico: la búsqueda del sucesor. Por ejemplo, el sucesor de 5 es 6. Si me quieren agregar de 3 a 5, entonces eso significa que tengo que encontrar 5 del sucesor es de 6, 6 sucesor es de 7, y 7 del sucesor es 8. En otras palabras, además de las 3 es la sucesión repetida (iterada) 3 veces. Así que la adición es la operación siguiente en la secuencia.
Si hago reiteró, además, realizar una multiplicación (por ejemplo,$3 \times 5 = 5+5+5$) por lo que el siguiente en la lista. Y reiteró la multiplicación es la exponenciación (por ejemplo,$5^3=5\times 5\times 5$). Estos son considerados los "elementales de las operaciones". Por supuesto, el hyperoperation secuencia no se detiene allí: iterada expoentiation es tetration , por ejemplo, $^{3}2 = 2^{2^{{2}}}=2^4=16$ (había que elegir uno con pequeños números que ser muy grande, muy rápido!). Luego vienen pentation (iterada tetration), hexation (iterada pentation)... Knuth inventó un hermoso sistema de flecha arriba notación para representar estas muy poderosa operaciones en una manera clara y ordenada. Aprender, y ahora puede ganar a todos aquellos "que puede escribir el mayor número de" juegos que los niños jueguen!
¿Cuál es mi punto? Realmente hay una clara y bien definida sentido en el cual la suma, multiplicación y exponenciación pertenecen a una secuencia de aumento de poder. Nuestra orden de operaciones se definen de manera que podamos hacer el más poderoso en primer lugar, a menos que parantheses nos dicen que hacer las cosas de manera diferente. Hace sentido intuitivo para mí que el más poderoso de operaciones debe tener prioridad, aunque si en algún otro mundo los menos importantes se realiza en primer lugar, la gente utiliza para que el sistema se puede ver como muy intuitiva! En cualquier caso, esto parece más convincente para mí que la composición de la convención (argumento circular, ya que los diferentes órdenes de operación puede haber llevado a notación diferente?) o el cumplimiento de ciertos ejemplos prácticos (por ejemplo, en el que se multiplica la primera, a continuación, agregue, pero no con la igualmente abundantes ejemplos prácticos donde tenemos que recurrir a parantheses para expresar el orden correcto).
Hay muchas otras maneras interesantes para el fin de la aritmética alrededor. Para alguien que no lo hubiera hecho, tener un juego con notación polaca Inversa en algún momento! Encontré este muy aclaró la importancia de la orden de las operaciones para mí (usted necesita pensar cuidadosamente qué tipo de primera), así como "cómo una computadora o calculadora piensa".
Reflexión Final: ¿por qué me resulta intuitiva para hacer más poderosa de la primera, que no se acostumbre a él? Una consecuencia de mi anterior respuesta es que la más poderosa de las operaciones son definidas por iterativamente la aplicación de los menos poderosos de las operaciones, así que tal vez "más a menos" es más natural. Alguien que trata de ordenar la menos potente de las operaciones en primer lugar, y "subir" a la más poderosa de las operaciones, terminará rompiendo las mayores operaciones de espalda en los más bajos. En ese sentido, "menos a más" no funciona tan bien. De hecho, si usted realmente desea, puede romper todas las operaciones para la función sucesor $\operatorname{succ}(n)=n+1$, su inverso, el predecesor de la función $\operatorname{pred}(n)=n-1$, e $H_n(a,b)$ definido por:
$$H_n(a, b) =
\begin{cases}
\operatorname{succ}(b) & \text{if } n = 0 \\
a &\text{if } n = 1, b = 0 \\
0 &\text{if } n = 2, b = 0 \\
1 &\text{if } n \ge 3, b = 0 \\
H_{\operatorname{pred}(n)}(a, H_n(a, \operatorname{pred}(b))) & \text{otherwise}
\end{casos}\,\!$$
Establecimiento $n=0,1,2,3,4,\ldots$ da de la sucesión, adición, multiplicación, exponenciación, tetration... todo hyperoperation secuencia! En particular $H_0(a, b) = \operatorname{succ}(b)$, $H_1(a, b) = a + b$, $H_2(a, b) = a \times b$, $H_3(a, b) = a^{b} = a\uparrow{b}$ (en Knuth la notación), $H_4(a, b)=^{b}a=a\uparrow\uparrow{b}$ y así sucesivamente. Trate de ampliar a mano algunos de los ejemplos en mi respuesta: $H_0(7,5)= \operatorname{succ}(5)$, $H_1(5,3)=5+3$, $H_2(5,3)=5\times 3$, $H_3(5,3)=5^3$, $H_4(2,3)=2\uparrow\uparrow{3}$. Es muy instructivo, (una vez que obtenga en a$H_2$, es menos tedioso si se utiliza el hecho de que $H_1$ significa, además, y así sucesivamente para mayor $n$) - uno se pone a ver cómo las operaciones de todos seguir a partir de la iteración sucesor y predecesor, y en qué sentido cada uno es una extensión de la anterior en la secuencia. Te darás cuenta de lo $b$ actúa como un "contador" que las garrapatas a cero, y entender por qué usted necesita el $a$, 0 y 1 para los casos de $n=1,n=2,n\ge 3$. (Aproximadamente es para manejar las inconsistencias en la forma que cada operación se repite la anterior. Cuando digo $5+3$ es la sucesión repetida 3 veces, me pongo a la aplicación de esas sucesiones a la 5. Cuando digo $5 \times 3$ es la adición de un 5, 3 veces, se añade a cero. Y $5^3$ es sólo "multiplicar por 5, 3 veces" si yo comienzo a las 1! He encontrado estas contradicciones para ser una fuente de confusión para los estudiantes de escuela secundaria.)
