$A^2$ autoadjunto y compacto, demuestre $A$ tiene un valor propio

Question

Supongamos que $H$ es un espacio de Hilbert y $A \in L(H)$ es tal que $A^2$ es compacto y autoadjunto. Demostrar que $A$ tiene un valor propio.

(Aquí $L(H)$ es el conjunto de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert $H$ .)

Answer 1

(Esto demuestra un poco más de lo que se pide: no hay necesidad de $A^2$ sea compacto ni autoadjunto, sólo que tenga un valor propio)

Dejemos que $\alpha$ sea un valor propio de $A^2$ . Elija $\lambda\in\mathbb C$ con $\lambda^2=\alpha$ .

Como $\alpha$ es un valor propio de $A^2$ tenemos que existe un $v$ con $(A^2-\alpha I)v=0$ . Entonces $$ 0=(A^2-\alpha I)v=(A-\lambda I)(A+\lambda I)v=0. $$ Si $(A+\lambda I)v=0$ entonces $-\lambda$ es un valor propio de $A$ . Si $(A+\lambda I)v\ne0$ entonces $\lambda$ es un valor propio de $A$ con el vector propio $(A+\lambda I)v$ .

Answer 2

Para que esto se mantenga es fundamental que $H$ es un complejo espacio de Hilbert ya que en $\mathbb{R}^2$ una rotación $T$ por $\pi/2$ no tiene valores propios, pero $T^2 = -I$ es compacto y autoadjunto.

El teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos da como resultado un vector propio $w$ de $A^2$ con valor propio real $\lambda$ . Sin pérdida de generalidad, podemos reescalar $A$ (posiblemente por un complejo ) de tal manera que $\lambda = 1$ . Ahora, o bien $w$ es un vector propio de $A$ y hemos terminado, o no. En este último caso, debemos tener $Aw = v$ y $Av = w$ para algunos $v \neq w$ . Pero entonces $$A(v-w) = Av - Aw = w - v = -(v - w)$$ para que $v-w$ es un vector propio de $A$ . (Nota $v-w \neq 0$ desde $v \neq w$ ).

Answer 3

Este es el primer pensamiento que tuve. No veo cómo conduce a lo que usted quiere, pero tal vez usted tiene una idea con ella: Desde $A^2$ es un operador compacto autoadjunto o $||A||^2$ o $-||A||^2$ es un valor propio de $A^2$ .