Demostrar la convergencia de $\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln^5{(2n^7 + 13)} + 10\sin{n}}{n \ln^6{(n^\frac{7}{8} + \sqrt{n} - 1)} \cdot \ln( \ln (n + (-1)^n))}$ . Entiendo que la mayoría de las cosas de esta suma no importan realmente para analizar su convergencia, pero no sé cómo resolverla formalmente para no hacer ninguna suposición errónea. Una vez que me deshaga de estas cosas tan rebuscadas supongo que debería aplicar la condensación de Cauchy.
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Stephan Aßmus
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Con el suficiente esfuerzo se puede comparar esto con un tiempo constante $$ \frac{1}{x \log x \log \log x} $$ que es la derivada de $$ \log \log \log x $$ que va hasta el infinito "con gran dignidad". Así que su suma diverge.
Este tipo de series están diseñadas normalmente para que intentes comprender qué partes son importantes.
Así que la solución sigue dos pasos: primero analizar el término general (que siempre es positivo y tiene una expresión factorizada bastante bonita sin diferencia de términos del mismo orden) y reescribir/aproximar todo de la forma más sencilla posible (el mejor ejemplo es: si tienes una suma que no está anidada en una exponencial divergente - o un coseno hiperbólico, normalmente puedes olvidarte de todo el término no dominante; los factores constantes en los logaritmos suelen contribuir poco también).
Esta parte es informal y sólo tiene que ayudarle a "hacerse una idea de lo que está pasando".
Aquí:
1) en el logaritmo del numerador, podemos olvidarnos del término constante y del $2$ para que se convierta en $\ln^5(n^7)$ .
2) el término del seno está acotado mientras que el logaritmo llega hasta el infinito, por lo que este último puede olvidarse.
3) el numerador se puede reescribir como $7^5\ln^5(n)$ .
4) en el primer logaritmo del denominador, $\sqrt{n}-1$ es insignificante antes de $n^{7/8}$ así se puede olvidar y esto se convierte en $(7/8)^6\ln^6(n)$ .
5) Del mismo modo, en el segundo registro (iterado), se puede "olvidar" el $(-1)^n$ parte.
6) por lo que su denominador es aproximadamente igual a alguna constante por $n\ln(n)\ln(\ln(n))$ .
7) Como se explica en la otra respuesta, la expresión general es "aproximadamente igual a" $\frac{1}{n\ln{n}\ln{\ln{n}}}$ .
Ahora, al segundo paso: la serie simplificada es siempre positiva y divergente, como se explica en la otra respuesta.
Así que ahora ya sabes qué tienes que demostrar y qué estimaciones tienes que hacer: necesitas una cota inferior simple en el numerador y una cota superior simple en el denominador tal que la serie resultante diverja.
La idea es retomar los pasos que diste en la primera parte y ver cómo los haces rigurosos.
1) se aplica tal cual. 2) convierte la parte del seno en un $-10$ que es menos de la mitad del plazo en $1)$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ (los únicos que importan). 3) para que el numerador no sea inferior a unos $c\ln^6(n)$ , donde $c>0$ es una constante numérica, para todo lo suficientemente grande $n$ .
4) $\sqrt{n}-1 \leq n^{7/8}$ para que el registro no sea inferior a $(7/8)^6\ln^6(2^{8/7}n) \leq (7/8)^6(\ln(n)+1)^6 \leq (7/4)^6\ln^6(n)$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ .
5) Del mismo modo, la parte del tronco es inferior a $\ln{\ln{2n}} \leq \ln{ln{n}+\ln{2}} \leq \ln{2\ln{n}} \leq \ln{\ln{n}}+\ln{2} \leq 2\ln{\ln{n}}$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ .
6) por lo que su término, para todo lo suficientemente grande $n$ no es inferior a alguna constante positiva veces $\frac{1}{n\ln(n)\ln(\ln(n))}$ por lo que la serie diverge.
