Cómo demostrar que $P(A \cap B) \ge 0$ dado que $A\subseteq\Omega$ y $B\subseteq\Omega$

Question

Dejemos que $(\Omega,\,P(\cdot))$ denotar un espacio de probabilidad y suponer que %B% es un evento en este espacio donde $P(B)>0$ . Prueba $P(A|B)\ge0$ para todos los eventos $A\subseteq\Omega$ .

Hasta ahora lo he hecho:

Utilizando el Teorema de Bayes, $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

La pregunta nos dice que $P(B) > 0$ Así que sólo tenemos que demostrar que $P(A \cap B)\ge0$ .

Creo que intuitivamente tiene sentido que $A \cap B$ es no negativo ya que $A\subseteq\Omega$ y $B\subseteq\Omega$ pero no estoy seguro de cómo probarlo formalmente.

Answer 1

Obsérvese que una fracción de números reales $\dfrac{a}{b}$ con $b\neq 0$ es negativo si y sólo si $a$ o $b$ es negativo pero no si ambos tienen el mismo signo.

Ya has utilizado el teorema de Bayes para ver que $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ . Desde $P(B) > 0$ la única forma de obtener una fracción negativa sería si $P(A\cap B)<0$ . Pero $P$ es una medida de probabilidad por lo que siempre toma valores en $[0,1]$ . Por lo tanto, la fracción entera es positiva y por lo tanto $P(A|B)$ .