Orden de las operaciones al utilizar la barra de evaluación

Question

Supongamos que tenemos la función

\begin{align*} f(x) = \sin(x) \end{align*}

con la primera derivada

\begin{align*} \frac{d}{dx}f(x) = \cos(x). \end{align*}

Si evaluamos $f'(x)$ en $x=0$ el resultado depende de si se evalúa $f(0)$ o diferenciar $f(x)$ primero.

\begin{align*} \displaystyle \frac{d}{dx}f(x)\mid_{x = 0} = \cos(x)\mid_{x = 0} = 1\\ \displaystyle \frac{d}{dx}f(x)\mid_{x = 0} = \frac{d}{dx}f(0) = \frac{d}{dx}0 = 0 \end{align*}

Primera pregunta: ¿Significa esto que las dos afirmaciones siguientes no son equivalentes?

\begin{align*} \displaystyle \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mid_{x = 0}\\ \displaystyle \frac{d}{dx}\left(f(x)\mid_{x = 0}\right) \end{align*}

Segunda pregunta: En caso afirmativo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta y por qué?

\begin{align*} \displaystyle \frac{d}{dx}f(x)\mid_{x = 0} = \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mid_{x = 0} \end{align*}

o

\begin{align*} \displaystyle \frac{d}{dx}f(x)\mid_{x = 0} = \frac{d}{dx}\left(f(x)\mid_{x = 0}\right) \end{align*}

Answer 1

1. En efecto, no son equivalentes. $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(f(x)\mid_{x = 0}\right)$$ será siempre 0.
2. Por ello, esta notación siempre significa la primera forma.

Answer 2

Si lo siguiente fuera cierto: $$\frac{d}{dx}f(x)\mid_{x = n} = \frac{d}{dx}\left(f(x)\mid_{x = n}\right)$$ Entonces sería siempre sea 0. ¿Por qué? Porque una vez que evalúas una función de x en un valor particular de x, ya no es una función de x; es un valor (o, una función constante). El ejemplo (sen, cos) que has puesto es un poco engañoso. Considera en cambio la función $f(x)=x^2$ y en su lugar el punto $x=3$ :

$$\frac{d}{dx}f(x)\mid_{x = 0} = \frac{d}{dx}\left(f(x)\mid_{x = 0}\right)\\ f(x)\mid_{x = 0}=9\\ \frac{d}{dx}9=0$$