forma de grupos de movimientos de teselaciones

Question

He leído del libro "Mathmatics and Its History" de John Stillwell. En la sección 18.6 se habla de las interpretaciones complejas de la geometría. El libro dice:

Las teselaciones de triángulos y hexágonos tienen un grupo de movimientos similares, generados por

$z \mapsto z+1 ,z \mapsto z+\tau,z \mapsto z\tau$ , ( $z=x+iy$ )

y más generalmente cualquier movimiento del plano euclidiano puede componerse a partir de traslaciones $z \mapsto z+a$ y rotaciones $z \mapsto ze^{i\theta}$ .

(Por ejemplo, el patrón del cuadrado de la unidad es mapeado por la rotación de $\pi/2$ alrededor del origen, y estos tres movimientos generan todos los movimientos de la teselación sobre sí misma. Entonces estos movimientos generadores están dados por las transformaciones $z \mapsto z+1 ,z \mapsto z+i,z \mapsto zi$ .)

Mi pregunta es por qué la rotación debe ser de la forma $z \mapsto ze^{i\theta}$ ? Por qué debe ser $ze^{i\theta}$ ? ¿Puede ser de otra forma? ¿Cómo se concluye esta forma?

Gracias de antemano.

Answer 1

Cualquier número complejo $z$ tiene la forma $z=re^{i\phi}=r\cos\phi+ir\sin\phi$ .
$r$ es su distancia al origen, y $\phi$ es el ángulo entre $z$ y el eje real positivo. Cuando se multiplica por $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ El producto es $$r( \cos\phi+i\sin\phi)(\cos\theta+i\sin\theta)$$ Deberías comprobar que es igual a $$r\cos(\phi+\theta)+ir\sin(\phi+\theta)$$
Así que el nuevo punto está a la misma distancia del origen, pero el ángulo con el eje real positivo se incrementa en $\theta$ . Por eso, multiplicar por $e^{i\theta}$ es una rotación por $\theta$ .