Teorema de Rellich para el espacio de Sobolev en el toro

Question

Desde John Roe: Operadores elípticos, topología y métodos asintóticos , página 73:

Dejemos que $H^{k}$ sea el espacio de Soblev definido en el toroide $\mathbb{T}^{n}$ con el discreto $k$ -normas: $$ \langle f_{1}, f_{2}\rangle_{k}=(2\pi)^{k}\sum_{v\in \mathbb{Z}^{n}}\tilde{f}_{1}(v)\overline{\tilde{f}_{2}}(v)(1+|v|^{2})^{k} $$

John Roe afirmó que existe un teorema de incrustación compacta de tipo Rellich. Si $k_{1}<k_{2}$ entonces el operador de inclusión $H^{k_{2}}\rightarrow H^{k_{1}}$ es un operador lineal compacto. La prueba sigue los siguientes pasos:

1. Dejemos que $B=\{x:|x|=1,x\in H^{k_{2}}\}$ .
2. Dejemos que $\epsilon>0$ , elija el subespacio $Z\subset H^{k_{2}}$ tal que $\dim (H^{k_{2}}/Z)<\infty$ y para todos $f\in B\cap Z$ , $|f|_{k_{1}}<\epsilon$ .
3. La bola unitaria de $H^{k_{2}}/Z$ es compacto, por lo que puede ser cubierto por un número finito de bolas de radio $\epsilon$ .
4. Por lo tanto, $B$ puede ser cubierto por un número finito de bolas de radio $2\epsilon$ en $H^{k_{1}}$ norma. Dado que $\epsilon$ es arbitraria, $B$ es totalmente acotado y compacto en $H^{k_{1}}$ . Por lo tanto, el mapa de inclusión es compacto.

Aquí $Z$ se puede construir explícitamente tomándolo como el espacio $$ \{f:\tilde{f}(v)=0,\forall v>N \} $$ donde $N$ es una constante suficientemente grande.

Me parece bien la estrategia, pero me molesta un poco $Z$ de la construcción aquí. No me queda claro que dar $N$ lo suficientemente grande, sería capaz de forzar a todos $f\in B\cap Z$ para tener una norma lo suficientemente pequeña. ¿Puede alguien darme una pista? Pensando esto en términos de series de Fourier en el círculo, parece que los términos $\tilde{f}(v)$ para $v>N$ puede estar arbitrariamente cerca de $1$ y $|f|$ también sería bastante grande. Por ejemplo, si $k_{2}=3, k_{1}=2$ Entonces parece que no hay ninguna razón $\tilde{f}$ 's $H^{2}$ norma debe ser muy pequeña si la primera $N-1$ términos son cero. Realmente no sé de otra manera cómo construir $Z$ .

Answer 1

En la definición de $Z$ probablemente quieras $|v|>N$ en lugar de $v>N$ . Además, en el punto 1, la definición de $B$ se tiene la norma de Sobolev de $x$ por lo que es mejor utilizar la notación normativa para ello. Tampoco usemos subíndices en superíndices... digamos, $p<q$ y la incrustación es $H^q\to H^p$ . El $H^q$ está dada por $$\|f\|_{H^q}^2 = (2\pi)^{k}\sum_{v\in \mathbb{Z}^{n}}|f(v)|^2(1+|v|^{2})^{q}$$ (oops, ahora estoy usando superíndices en subíndices...) Supongamos $f\in Z$ entonces $$\begin{split}\|f\|_{H^p}^2 &= (2\pi)^{k}\sum_{|v|>N }|f(v)|^2(1+|v|^{2})^{p}\\ &\le (2\pi)^{k} (1+N^2)^{p-q} \sum_{|v|>N }|f(v)|^2(1+|v|^{2})^{q} \\ &\le (1+N^2)^{p-q} \|f\|_{H^q}^2 \end{split}$$ El factor $(1+N^2)^{p-q} $ es pequeño cuando $N$ es grande. Y cuando $f\in B\cap Z$ obtenemos $$\|f\|_{H^p}^2 \le (1+N^2)^{p-q}$$