La dificultad aquí es que el mapa $g \mapsto \rho(g(x)) u$ no es inyectiva. Por lo tanto, la condición $\varphi(x) = \rho(g(x)) u$ hace poco para restringir $g$ .
Incluso si se asume que $\rho$ es una representación fiel (es decir $g \mapsto \rho(g) $ es inyectiva), esto todavía no es suficiente para garantizar que el mapa $g \mapsto \rho(g(x)) u$ es inyectiva. Esto se debe a que diferentes automorfismos de $V$ puede actuar sobre $u$ de la misma manera.
Por ejemplo, tome $G = SO(3)$ y tomar $V = \mathbb R^3$ con $\rho$ siendo la representación fundamental del grupo $G$ . Escoge $u = (1,0,0)$ . Tome $M = S^1 $ y definir $\varphi(\theta) = (\cos \theta, \sin \theta, 0)$ . Entonces, por supuesto, podemos elegir $g(\theta)$ para ser el elemento de $SO(3)$ correspondiente a la rotación sobre el $z$ -eje a través de un ángulo $\theta$ . Esta elección de $g$ es suave, y obedece a $\varphi(\theta) = \rho(g(\theta))u$ . Pero también podríamos elegir $g(\theta)$ para ser la rotación alrededor del $z$ -eje a través de un ángulo $\theta$ seguido de una rotación alrededor del eje $(\cos \theta, \sin \theta, 0)$ a través de cualquier ángulo arbitrario; además, podemos elegir el ángulo arbitrario de forma diferente para cada $\theta$ . Esta elección de $g$ sigue obedeciendo $\varphi(\theta) = \rho(g(\theta))u$ pero ni siquiera es continuo.
