¿Cómo y por qué $\int\frac{m^kx^{k-1}e^{-mx}e^{sx}}{(k-1)!} dx$ convertirse en $(\frac{m}{m-s})^k\int\frac{(m-s)^k x^{k-1}e^{-(m-s)x}}{(k-1)!}dx$ ?

Question

¿Cómo es que $$\int\frac{m^kx^{k-1}e^{-mx}e^{sx}}{(k-1)!} dx$$ convertirse en $$\left( \frac{m}{m-s}\right)^k \int \frac{(m-s)^k x^{k-1} e^{-(m-s)x}}{(k-1)!} dx $$

Entiendo que recogieron los términos similares con el exponente y que tomaron el $m^k$ fuera de la integral en el inicio, pero no tienen absolutamente ninguna idea de dónde y por qué el $$ (m-s)^k$$ tanto en el denominador fuera de la integral como en el numerador dentro de la integral.

¿Puede explicar qué hicieron allí?

Nota, la integral es de $0$ hasta el infinito que es igual a 1, no sé si eso es importante.

Answer 1

Recuerda que para cualquier integral con integrando $f(x)$ y donde $a$ es una constante, $$\int af(x)~ {dx}=a\int f(x)~dx$$ En su caso, como $$\begin{align}\int\frac{m^kx^{k-1}e^{-mx}e^{sx}}{(k-1)!} dx&=\int m^k\times\frac{x^{k-1}e^{-mx}e^{sx}}{(k-1)!} dx\\ &=\int m^k\times\frac{(m-s)^k}{(m-s)^k}\times\frac{x^{k-1}e^{-mx}e^{sx}}{(k-1)!} dx\\ &=\int \frac{m^k}{(m-s)^k}\times(m-s)^k\times\frac{x^{k-1}e^{-mx}e^{sx}}{(k-1)!} dx\\ &=\int \left(\frac{m}{m-s}\right)^k\times(m-s)^k\times\frac{x^{k-1}e^{-mx}e^{sx}}{(k-1)!} dx\\ &=\left(\frac{m}{m-s}\right)^k\int (m-s)^k\times\frac{x^{k-1}e^{-mx}e^{sx}}{(k-1)!} dx\\ &=\left(\frac{m}{m-s}\right)^k\int \frac{(m-s)^kx^{k-1}e^{-mx}e^{sx}}{(k-1)!} dx\end{align}$$

¿Ayuda eso? Por favor, dime si no entiendes algo.