¿Qué hace $R-\mathrm{Mod}$ cuéntenos sobre $R$ ?

Question

He leído la frase "una buena manera de estudiar un anillo R es estudiar sus módulos" muchas veces, aunque no veo por qué debería ser un fenómeno general.

¿Es este fenómeno un análogo (o un ejemplo) del hecho de que el estudio de las extensiones de campo de $\mathbb{Q}$ puede decirnos algo sobre $\mathbb{Q}$ ¿en sí mismo? Por ejemplo, estudiando las factorizaciones en $\mathbb{Z}[i]$ se pueden sacar conclusiones sobre las factorizaciones en $\mathbb{Z}$ .

Otro ejemplo son los anillos de factores (Si $R$ es un anillo y $I$ está en el ideal, entonces $R/I$ como $R$ -). Otro ejemplo son las localizaciones. Por ejemplo, si $Y$ es una variedad (o una variedad), entonces el anillo local en un punto P nos dice cómo las funciones sobre $Y$ comportarse cerca $P$ .

Pero todos estos ejemplos parecen más bien coincidencias afortunadas (porque muchos objetos son módulos R), que un ejemplo de un fenómeno general (que "una buena manera de estudiar un anillo $R$ es estudiar sus módulos". ).

Entonces, ¿hay algo más en la frase "una buena manera de estudiar un anillo $R$ es estudiar sus módulos". o es sólo una forma abreviada de decir "estudiar un anillo $R$ ¿estudiar sus cocientes, sus localizaciones y su extensión?

Answer 1

Esto es lo que siempre tiene sentido para mí.

El lema de Yoneda nos dice que si realmente queremos entender un anillo $R$ debemos estudiar los conjuntos $\text{Hom}_{\text{Ring}}(R,S)$ para todos los demás anillos $S$ que podríamos imaginar. Dicho esto, el estudio de TODOS los anillos $S$ parece un poco ingenuo ¿no hay forma de aligerar nuestra carga? Bueno, intuitivamente si tenemos alguna clase de anillos $\mathscr{S}$ para el que cada anillo $S$ se incrusta en uno de los anillos de $\mathscr{S}$ entonces deberíamos ser capaces de recoger toda la información sobre $R$ estudiando $\left\{\text{Hom}_{\mathbf{Ring}}(R,S)\right\}_{S\in\mathscr{S}}$ . Ahora bien, es un hecho común de la teoría básica de los anillos que todo anillo $S$ se incrusta en el anillo de endomorfismo $\text{End}_{\text{Ab}}(A)$ de algún grupo abeliano $A$ (de hecho, su propia estructura de grupo abeliano subyacente $(S,+)$ ) y por lo tanto vemos que (lanzando nuestros cuidados de indexación al viento) que un candidato para $\mathscr{S}$ es $\left\{\text{End}_\mathbf{Ab}(A)\right\}_{A\in\text{Ab}}$ .

Pero, lo que es estudiar un elemento de $\text{Hom}_\mathbf{Ring}(R,\text{End}_\mathbf{Ab}(A))$ pero estudiando un $R$ -estructura de módulo en $A$ . Así, para estudiar $\left\{\text{Hom}_\mathbf{Ring}(R,\text{End}_\mathbf{Ab}(A))\right\}_{A\in\text{Ab}}$ no es más que estudiar todos los $R$ -módulos que $R$ admite. Y, como ya hemos dicho, el lema de Yoneda nos dice que, intuitivamente, esto debería comprender toda la información teórica del anillo sobre $R$ que pueda desear.

Concretamente, nociones como Von Neumann regular y semisimple sobre anillos tienen reformulaciones sobre la clase de módulos sobre esos anillos. Por ejemplo, un anillo $R$ es regular de Von Neumann si y sólo si todas sus izquierdas $R$ -Los módulos son planos.

De todos modos, todo esto es lo que tiene sentido para mí, y por lo tanto puede contener algunas inexactitudes graves. Espero que sirva de ayuda.

Answer 2

En este hilo de MathOverflow se discute esto a fondo: https://mathoverflow.net/questions/5243/why-is-it-a-good-idea-to-study-a-ring-by-studying-its-modules