Demostrar que existe $C$ en $\mathbb R$ tal que $f(x) = C$ para todos $x$

Question

Supongamos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y existe $L > 0$ y $ \alpha > 1$ tal que para todo $x, y$ en $\mathbb R$ , $\left | f(x)-f(y) \right | \leq L\left | x-y \right |^{\alpha }$ es cierto.

Demostrar que existe $C$ en $\mathbb R$ tal que $f(x) = C$ para todos $x$

Si $ \alpha$ se diera, sabría cómo resolver esto, pero sin ella, estoy perdido.

Answer 1

Esto es falso. Considere $f(x) = x$ . Entonces $|f(x) - (y)| = |x - y| \leq 1 \cdot |x-y|^1$

Answer 2

Permítanme responder también a otra pregunta. Supongamos que $\alpha > 1$ . En este caso, puedes demostrar que la función es una constante con un argumento de tres pasos:

1. Demostrar que la función es continua
2. Demostrar que la función es diferenciable
3. Demuestre que la derivada es $0$

Answer 3

Arreglar $x_0$ . Ahora, por cada $x\neq x_0$ tenemos $$ \Big|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\Big|\leq L\frac{|x-x_0|^\alpha}{|x-x_0|}=L|x-x_0|^{\alpha-1}. $$ Desde $\alpha -1>0$ la rhs, y por lo tanto la lhs, tienden a $0$ cuando $x$ tiende a $x_0$ . Por definición de diferenciabilidad, esto significa que $$ f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0. $$ Así que $f$ es diferenciable con derivada cero en $\mathbb{R}$ . Por el teorema del valor medio se deduce que $f$ es constante, es decir, existe $c\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)=c$ para todos $x\in\mathbb{R}$ .