Cuantificación de una masa amortiguada en un muelle

Question

Antecedentes: esta pregunta discute la formulación lagrangiana/hamiltoniana de un problema disipativo. Sin embargo, no tengo claro si esto se puede hacer cuántico y me gustaría una hoja de ruta más explícita si es posible.

Me interesa saber si existen sistemas cuánticos cuyos límites clásicos no sean hamiltonianos, y cómo se describiría un sistema de este tipo si es que existe. Tengo en mente algo como lo siguiente:

1) Existe un espacio de Hilbert de estados.

2) La evolución del tiempo es completamente positiva. Puede que no sea unitaria/hamiltoniana, pero esto es aceptable ya que tengo en mente alguna teoría efectiva de un subsistema.

3) El límite clásico tiene una evolución temporal dada por los EoM disipativos:

$$m\ddot{x} +\gamma \dot{x} +kx = 0$$

¿Cómo se define un sistema de este tipo, qué lo hace cuántico, y cómo se consigue la cuantificación de forma que se obtenga el comportamiento clásico correcto?

Answer 1

Para que haya disipación es necesario que la energía vaya a algún sitio, y este sitio tiene que estar incluido en el proceso de cuantización. Además de absorber la energía, el sistema adicional provoca la decoherencia cuántica, lo que hace que el problema sea bastante complicado.

El oscilador armónico amortiguado es uno de los problemas que fueron atacados y resueltos por Caldeira y Leggett (A.Caldiera, A.J.Leggett, Phys. Rev. Lett. vol 46 (1981) p 211). Caldiera y Leggett mostraron que casi siempre se puede modelar el "algún lugar" como un baño de infinitos osciladores armónicos. En esto derivan que la física está dada por la acción efectiva (euclidiana):

$$ S_{\text{eff}} = \int_0^\tau dt \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)+\frac{\gamma}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty dt' \left( \frac{x(t)-x(t')}{t-t'} \right)^2 \right)$$