Integral - Problema

Question

Hola estoy atascado con un problema integral tratando de mostrar $$ -\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^3}p\frac{\partial f(p,t)}{\partial p}=3F$$ donde $F=\frac{1}{(2\pi)^3}\int d^{3}pf(p,t)$ He leído en muchos libros que basta con integrar por partes para obtener la solución, pero no lo consigo ¿alguien puede ayudar?

Answer 1

Permítanme traducir el tipo de notación de la física de vuelta al cálculo: suponga que su espacio de configuración es sólo $\mathbb{R}^3$ y $p = \langle x,y,z\rangle $ es un vector en $\mathbb{R}^3$ también la función $f$ es suave y el producto con $x$ , $y$ o $z$ desaparece cuando $\|p\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\to \infty$ . Como no hay tiempo aquí tratamos $t$ como una constante. Entonces la integral puede reescribirse con rigor matemático para evitar la vaguedad: $$ \begin{aligned} -\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^3}p\frac{\partial f(p,t)}{\partial p} &= -\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(2\pi)^3} \nabla_p f\cdot p \,dxdydz \\ &= -\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(2\pi)^3} \langle \partial_x f, \partial_y f, \partial_z f \rangle\cdot \langle x,y,z\rangle \,dxdydz \\ &= -\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(2\pi)^3} (x \, \partial_x f + y\, \partial_y + z\, \partial_z f)\,dxdydz \end{aligned} $$ Dividir las integradas en tres partes: $$ \begin{aligned} &\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(2\pi)^3} (x\, \partial_x f + y \, \partial_y + z\, \partial_z f)\,dxdydz \\ =&\int_{\mathbb{R}^2}(\int_{\mathbb{R}^1}\frac{1}{(2\pi)^3} x \partial_x f\,dx)dydz + \int_{\mathbb{R}^2}(\int_{\mathbb{R}^1}\frac{1}{(2\pi)^3} y \partial_y f\,dy)dxdz + \int_{\mathbb{R}^2}(\int_{\mathbb{R}^1}\frac{1}{(2\pi)^3} z \partial_z f\,dz)dxdy \end{aligned} $$ Para cada integral: que $u= x$ , $dv = \partial_x f\,dx$ entonces por la fórmula de la integral por partes $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^1}u dv = - \int_{\mathbb{R}^1}v du$ , si $uv$ va a cero en el infinito. $$ \int_{\mathbb{R}^1}\frac{1}{(2\pi)^3} x \partial_x f\,dx = - \int_{\mathbb{R}^1}\frac{1}{(2\pi)^3} f\,dx $$ Por lo tanto: $$ \int_{\mathbb{R}^2}(\int_{\mathbb{R}^1}\frac{1}{(2\pi)^3} x \partial_x f\,dx)dydz = - \int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(2\pi)^3} f\,dx dydz $$ ya que asumimos $xf(x,y,z,t) \to 0$ cuando $x\to \infty$ . Haz lo mismo con los otros dos términos: $$ \int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(2\pi)^3} (x\, \partial_x f + y \, \partial_y + z\, \partial_z f)\,dxdydz = -3\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(2\pi)^3} f\,dx dydz $$ Por lo tanto: $$ -\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^3}p\frac{\partial f(p,t)}{\partial p} = \frac{3}{(2\pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3}f\,dx dydz = \frac{3}{(2\pi)^3} \int f(p,t) \,d^3p = 3F. $$ También la última observación es que: el espacio de configuración no necesita ser $\mathbb{R}^3$ puede ser un colector, $p$ es un vector tangente, el momento es cotangente. Y la fórmula sigue siendo válida.