La explicación de Einstein sobre el principio de equivalencia

Question

En la parte superior de la página de Wikipedia sobre el Principio de equivalencia es esta cita atribuida a Einstein:

Un poco de reflexión mostrará que la ley de la igualdad de la masa inercial y gravitatoria es equivalente a la afirmación de que la aceleración impartida a un cuerpo por un campo gravitatorio es independiente de la naturaleza del cuerpo. La ecuación del movimiento de Newton en un campo gravitatorio, escrita en su totalidad, es:

(Masa inercial) (Aceleración) = (Intensidad del campo gravitatorio) (Masa gravitatoria)

Sólo cuando hay igualdad numérica entre la masa inercial y la gravitatoria, la aceleración es independiente de la naturaleza del cuerpo.

He leído que esta afirmación implica que dos afirmaciones son equivalentes:

• La aceleración debida a la gravedad es independiente de la masa del cuerpo
• La masa inercial y la masa gravitatoria son numéricamente iguales.

También entiendo lógicamente que "equivalente" significa "si y sólo si".

Entiendo una dirección de este argumento. Si la masa gravitatoria es numéricamente igual a la masa inercial, entonces la aceleración debida a la gravedad será la misma para todos los cuerpos (porque es el mismo para todas las cosas de la Tierra). Pero no puedo entender cómo la independencia de la masa del cuerpo y la aceleración debida a la gravedad implica que la masa inercial y la masa gravitatoria son numéricamente iguales. Por ejemplo, eso sería cierto si la masa inercial fuera exactamente el doble de la masa gravitatoria; simplemente podríamos elegir un valor diferente para G.

¿Estoy interpretando mal la afirmación de Einstein? ¿No significa lo que yo creo que significa?

Answer 1

(Respondiendo a mi propia pregunta).

He leído mal la cita.

Lo leo como si Einstein dijera: "mira esta ecuación: matemáticamente debe ser cierto, ya que la aceleración debida a la gravedad es independiente de la masa, que la masa gravitatoria y la masa de inercia son iguales". Y para ser justos, cuando se señala una ecuación y se dice lo que significa, ese suele ser el sentido en el que se quiere decir: matemáticamente. Al fin y al cabo, es una ecuación.

Pero él no dice eso. Está utilizando un significado mucho más profundo de la noción de igualdad. Está diciendo, "mira esta ecuación: la naturaleza de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad es igual a la naturaleza de ese cuerpo que experimenta la inercia. No sólo "igual a" en el sentido numérico, sino "igual a" en el sentido de "estas dos cosas son la misma cosa"". La caída es igual a inercia. Está mirando la ecuación y se da cuenta de un significado mucho más profundo detrás de lo que significa que dos cosas sean iguales.

Es increíble. Un genio, hombre. Es tan simple una vez que lo entiendes.

Answer 2

La versión newtoniana de esta idea es que la segunda ley de la mecánica es que la fuerza sobre un cuerpo es igual a la masa de ese cuerpo por la aceleración $\vec F~=~m\vec a$ . La fuerza se atribuye a la atracción gravitatoria hacia una masa $M$ a distancia $r$ es $$ m\vec a~=~\frac{GMm\vec r}{r^3} $$ para $\vec r$ el vector en la dirección de la masa $m$ desde el centro de la masa $M$ . En esto la masa $m$ a la izquierda, la masa inercial, es igual a la masa $m$ a la derecha. Sin embargo, la cuestión es si esto es realmente así. Y Eotvos hizo mediciones para determinar esto, y se han hecho más mediciones para determinar hasta qué punto $m_i~=~m_g$ . El principio de equivalencia de Einstein dice

¿Qué tiene esto que ver con el espacio-tiempo? Esto requiere un poco de conocimiento de la relatividad general. Comenzamos con la métrica de Schwarzschild para una masa esféricamente simétrica centrada en $r~=~0$ $$ ds^2~=~\left(1~-~\frac{GM}{rc^2}\right)c^2dt^2~-~\left(1~-~\frac{GM}{rc^2}\right)^{-1}dr^2~-~r^2d\Omega^2 $$ Consideramos un campo gravitatorio débil donde el coeficiente $\frac{GM}{rc^2}$ es pequeño. El componente temporal es $O(c^2)$ más grande y por eso lo aproximamos con $$ ds^2~=~\left(1~-~\frac{GM}{r}\right)dt^2~-~dr^2~-~r^2d\Omega^2. $$ Ahora divide por $ds^2$ para conseguir $$ 1~=~\left(1~-~\frac{GM}{r}\right)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2~-~\left(\frac{dr}{ds}\right)^2~-~r^2\left(\frac{d\Omega}{ds}\right)^2. $$ Ahora diferenciamos esto con respecto a $ds$ , emplear $$ \frac{d}{ds}\frac{GM}{r}~=~\frac{\partial}{\partial r}\frac{GM}{r}\left(\frac{dr}{ds}\right), $$ eliminamos el término angular y encontramos $$ \frac{d^2r}{ds^2}~+~\frac{GM}{r^2}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2~=~0. $$ Esta es la ecuación geodésica en el límite débil que recupera la segunda ley del movimiento y la gravedad de Newton. Esto conecta el principio de equivalencia con la física del espacio-tiempo.

Answer 3

Esta pregunta parece referirse a la física newtoniana, así que me limitaré a ella.

tl;dr La proporción no importa porque no podemos medirla y la constante gravitacional de forma independiente. Hemos elegido que la relación sea $1$ porque eso nos da las fórmulas más simples.

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Dejemos que $\alpha$ sea la relación entre la masa gravitatoria y la masa inercial. Para dos cuerpos con masas inerciales $m_i$ y $M_i$ y las masas gravitacionales $m_g$ y $M_g$ la fuerza gravitacional tiene una magnitud

$$ F = \frac{H M_g m_g}{r^2} = \frac{\alpha^2 H M_i m_i}{r^2}, $$ donde $H$ es una constante llamada constante gravitacional; he elegido un símbolo poco común para ello a propósito.

Ahora, tenga en cuenta que para saber $\alpha$ o $H$ tenemos que realizar mediciones para determinar el número. ¡Pero aquí tenemos un problema! En cada ecuación que tenemos que contiene $\alpha$ o $H$ se producen como producto $\alpha^2 H$ . Así que $\alpha^2 H$ y no los valores individuales de $\alpha$ o $H$ es lo único que importa en el funcionamiento del universo. Así que ni siquiera podemos medir $\alpha$ y $H$ individualmente, sólo $\alpha^2 H$ .

Por lo tanto, también podemos definir una constante $G=\alpha^2 H$ , lo que da la ecuación $$ F = \frac{G M_i m_i}{r^2}. $$

Puede que entonces dejemos de preocuparnos por $\alpha$ , $H$ y las masas gravitacionales, porque no dicen nada sobre la gravedad que no diga esta nueva ecuación. También podríamos seguir y decir que $G$ es la constante gravitacional .

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En particular, usted podría hacer todos los aspectos de la mecánica newtoniana diciendo que la masa inercial es $1/2$ veces la masa gravitacional. Todo funcionaría, sólo tendrías un factor extra de $1/2^2$ en la fórmula de la fuerza gravitatoria. Por ejemplo, se mediría la constante gravitatoria ( $H$ ) para ser $2.669632 × 10^{-10} \text{ m}^3 \text{ kg}^{-1} \text{ s}^{-2}$ (cuatro veces el valor que tenemos ahora).