Sobre la función "sigma".

Question

¿Es cierto que si $n$ divide $m$ , $\sigma(\frac mn) \leq \frac{\sigma(m)}n$ . Si es así, esto tiene relación con los contraejemplos de la desigualdad de Robin.

Answer 1

Escribe $m=kn$ entonces demostramos que $$n\sigma(k)\leq\sigma(m)$$ para todo n positivo tenemos $n\leq\sigma(n)$ entonces $$n\sigma(k)\leq\sigma(n)\sigma(k)\ \ \ \ (*)$$ si $gcd(n,k)=1$ $\sigma(n)\sigma(k)=\sigma(m)$ porque $\sigma$ es una función multiplicativa.

Si $gcd(n,k)=d\neq1$ podemos escribir $n=ds \ and\ k=dt$ ahora para $(*)$ tenemos que $$n\sigma(k)\leq\sigma(n)\sigma(k)\leq\sigma(d)\sigma(s)\sigma(d)\sigma(t)$$ queremos ahora que $$\sigma(d)\sigma(d)\sigma(s)\sigma(t)\leq\sigma(d^2)\sigma(s)\sigma(t)=\sigma(m)$$ es decir $$\sigma(d)\sigma(d)\leq\sigma(d^2)$$ para la multiplicatividad de $\sigma$ podemos demostrarlo sólo para $d=p^a$ donde p es primo y $a\geq1$ $$\sigma(p^a)=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}$$ por lo que tenemos que demostrar $$\left(\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\right)^2\leq\frac{p^{2a+1}-1}{p-1}$$ y esto es cierto.

Answer 2

Dejemos que $k=\frac mn$ y que $1=d_1\lt d_2\lt\dots\lt d_r=k$ sean todos los divisores positivos de $k$ . Entonces $nd_1\lt nd_2\lt\dots\lt nd_r$ son divisores positivos distintos de $nk$ y así $\sigma(m)=\sigma(nk)\ge nd_1+nd_2+\cdots+nd_r=n(d_1+d_2+\cdots+d_r)=n\sigma(k)=n\sigma(\frac mn)$ .