Demuestre que un ordinal es un ordinal límite si y sólo si es $\omega\cdot\beta$ para algunos $\beta$ .

Question

Demuestre que un ordinal es un ordinal límite si y sólo si es $\omega\cdot\beta$ para algunos $\beta$ .

Para mostrar la primera implicación, estaba tratando de usar la inducción transfinita sobre beta para mostrar que $\omega\cdot\beta$ es siempre límite, pero me quedé un poco atascado con el paso de la inducción.

Cualquier idea será muy apreciada.

Gracias

Answer 1

Una pista: Utilice Forma normal de Cantor y el hecho de que $\alpha\cdot(\beta+\gamma)=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma$ para cualquier ordinal $\alpha,\beta,\gamma$ . Con esto se puede demostrar la equivalencia

Editar: $(\Rightarrow)$ Demostremos por inducción en $\alpha$ que si $\alpha$ es un ordinal límite, tiene la forma prescrita. Hay dos casos:

• Hay algunos $\gamma<\alpha$ tal que no hay ordinales límite entre $\gamma$ y $\alpha$ . Sea $\gamma_0$ sea el mayor ordinal límite con $\gamma$ con $\gamma<\alpha$ que claramente existe en este caso. Tenemos que $\gamma_0+\omega$ es el ordinal mínimo mayor que $\gamma_0$ , pero también lo es $\alpha$ Por lo tanto $\alpha=\gamma_0+\omega$ . Por la hipótesis inductiva, $\gamma_0=\omega\cdot\beta'$ para algunos $\beta'$ Por lo tanto $\alpha=\gamma_0+\omega=\omega\cdot(\beta'+1).$

• Para cualquier $\gamma<\alpha$ siempre existen ordinales límite entre $\gamma$ y $\alpha$ . En este caso obtenemos que $\alpha=\sup\{\gamma<\alpha:\gamma$ es un ordinal límite $\}$ . Sea $\beta=\sup\{\gamma:\omega\cdot\gamma<\alpha\}$ entonces por la hipótesis inductiva obtenemos $\alpha=\lim_{\gamma\to\beta}\omega\cdot\gamma=\omega\cdot\beta.$

$(\Leftarrow)$ Al igual que en la respuesta de Asaf.

Answer 2

Bueno, $\omega(\beta+1)=\omega\cdot\beta+\omega$ . En los casos límite es aún más sencillo porque la multiplicación de dos ordinales límite no puede producir un ordinal sucesor.