Dejemos que $\{(X_\nu,\mu_\nu):\nu\in\Lambda\}$ sea una familia de espacios medibles. ¿Es cierto que $\bigoplus_2\{L_2(X_\nu,\mu_\nu):\nu\in\Lambda\}$ isométricamente isomorfo a $L_2\left(\bigsqcup\{(X_\nu,\mu_\nu):\nu\in\Lambda\}\right)$ . Me parece que el isomorfismo isométrico deseado es $$ i:\bigoplus_2\{L_2(X_\nu,\mu_\nu):\nu\in\Lambda\}\to L_2\left(\bigsqcup\{(X_\nu,\mu_\nu):\nu\in\Lambda\}\right):f\mapsto(x_\nu\mapsto f(\nu)(x_\nu))\qquad x_\nu\in X_\nu,\quad\nu\in\Lambda $$ Aquí está mi prueba: $$ \Vert i(f)\Vert^2=\int\limits_{\bigsqcup\{(X_\nu,\mu_\nu):\nu\in\Lambda\}}|i(f)(x)|^2 d\left(\sqcup\{\mu_\nu:\nu\in\Lambda\}\right)(x)= $$ $$ \sum\limits_{\nu\in\Lambda}\quad\int\limits_{X_\nu}|i(f)(x_\nu)|^2d\mu_\nu(x_\nu)= \sum\limits_{\nu\in\Lambda}\quad\int\limits_{X_\nu}|f(\nu)(x_\nu)|^2d\mu_\nu(x_\nu)= $$ $$ \sum\limits_{\nu\in\Lambda}\Vert f(\nu)\Vert^2=\Vert f\Vert^2.$$ Por lo tanto, $i$ es una isometría. El problema es que aquí he utilizado la suma sobre conjuntos de índices que pueden ser incontables. No estoy familiarizado con estas nociones y cómo definirlas rigurosamente. Si sabes dónde puedo leer sobre este tipo de sumatorio con todas las definiciones y teoremas dame un enlace.
Mi pregunta : ¿Esta prueba es correcta?
