Significado geométrico de la terminación y la localización

Question

Deje que $R$ ser un anillo conmutativo con unidad, $I$ un ideal de $R$ y considerar las siguientes tres construcciones.

1. El localización $R_I$ de $R$ en $I$ (es decir, la localización de $R$ en el sistema multiplicador $R \setminus I$ ) da un morfismo $$ f_1: \operatorname {Spec}(R_I) \to \operatorname {Spec}(R)=:X $$
2. El finalización $ \widehat {R}_I$ de $R$ en $I$ da un morfismo $$ f_2: \operatorname {Spec}( \widehat {R}_I) \to X $$
3. Para el caso especial $I=(a)$ la localización $R_a$ (es decir, la localización de $R$ en el sistema multiplicador $\{1,a,a^2, \ldots\ }$ ) da un morfismo $$ f_3: \operatorname {Spec}(R_a) \to X $$

Mi pregunta es:

¿Cuál es el significado geométrico de las tres construcciones y cómo se relacionan?

Esto es lo que ya "sé" o describe al menos el estilo de respuesta que apreciaría. Como se ha comentado en los comentarios, $I$ tiene que ser un ideal primario.

• $R \to R_I$ es inyectable iff $R \setminus I$ no contiene divisores de cero, que es el caso si $I$ es un ideal primordial. El esquema $ \operatorname {Spec}(R_I)$ es la intersección de todos los barrios de $I$ en $X$ . Esto es un poco contrario a la intuición para mí, ya que la última declaración suena como $f_1$ es inyectable", pero la $ \operatorname {Spec}$ -el operador debe dar la vuelta a lo "inyectivo" y a lo "surjectivo" de alguna manera (Sé que esto no es literalmente cierto, pero sólo quiero tener la sensación de que "está contenido", "es más grande", "es más pequeño", etc.).
• $ \operatorname {Spec}(R_a)$ es de alguna manera lo opuesto a $ \operatorname {Spec}(R_{(a)})$ (= la intersección de todos los barrios de $(a)$ en $X$ ) porque $ \operatorname {Spec}(R_a)$ parece ser algo así como la unión de todos los conjuntos abiertos de $X$ que no contiene el punto $(a)$ .
• $R \to\widehat {R}_I$ es inyectable iff $ \cap I^n=(0)$ y esto se mantiene muy a menudo (por ejemplo, para $R$ noetheriano y un dominio integral o un anillo local). Por lo tanto (esto es probablemente una falsa intuición como se ha comentado antes), $f_2$ debería ser algo como una "proyección" (de algo "grande" a algo "pequeño"). Pero, ¿cuál es geométricamente la diferencia entre la localización y la terminación. No tengo una idea geométrica de la terminación en absoluto.

Como ha señalado Qiaochu Yuan en los comentarios que siguen, no se debe pensar en $ \operatorname {Spec}$ como un cambio inyectivo-surjectivo.

Answer 1

En primer lugar, la localización $R_I$ sólo se define si $R \setminus I$ es en realidad un sistema multiplicativo, es decir, si para $a \notin I$ y $b \notin I$ tienes $ab \notin I$ . que se traduce en $ab \in I$ $ \Rightarrow $ $a \in I$ o $b \in I$ así que $I$ tiene que ser un ideal primordial en cualquier caso. Por intuición, aconsejaría pensar en $R$ como un finamente generado (y reducido) $k$ -algebra, el cociente del anillo polinomial en $n$ variables sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ : Entonces.., $ \mathrm {Spec}(R)$ (o al menos los ideales máximos entre los ideales primarios) es sólo una subvariedad del espacio afín $k^n$ . Piensa en $R$ como el funciones en $X= \mathrm {Spec}(R)$ .

1. El anillo $R_I$ es el anillo donde se le permite invertir cualquier función que no esté en $I$ : Si $I$ es el ideal correspondiente a una subvariedad cerrada $Z=Z(I)$ de $X$ esto significa que puedes invertir cualquier cosa que haga no se desvanecen en $Z$ . La intuición es que pensamos en $R_I$ como las funciones que se definen localmente alrededor de $Z$ : Si tienes alguna función $f$ definido en un vecindario $U$ de $Z$ y no se desvanece en $Z$ en sí mismo, y luego quitando $Z(f)$ de $U$ todavía tienes un vecindario de $Z$ pero ahora $f$ es invertible en todas partes en $U$ . Así que, si encoges el soporte de una función alrededor de $Z$ lo suficientemente lejos, o es una unidad o se desvanece en $Z$ .

   Recordemos que los principales ideales de $R_I$ son precisamente los principales ideales de $R$ que no cumplen $R \setminus I$ es decir, los que están contenidos en $I$ . Estas corresponden de nuevo a subvariedades $Z'$ que contiene $Z$ . Así que personalmente pienso en $ \mathrm {Spec}(R_I)$ como el espacio que parametriza el $Z'$ .

2. Permítanme citar el capítulo 7 del libro de David Eisenbud Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica en este caso:

   Una localización $R_I$ del anillo afín de una variedad al máximo ideal $I$ de un punto sobre la variedad representa y refleja las propiedades de Zariski abierto barrios del punto; la finalización $ \hat R_I$ representa las propiedades de la variedad en vecindarios mucho más pequeños. Por ejemplo, sobre los números complejos, la información disponible de $ \hat R_I$ es (en términos generales) infor- sobre vecindarios arbitrariamente pequeños en la "topología clásica" inducida por el hecho de que la variedad es un subespacio cerrado de algunos $ \mathbb C$ con su topología ordinaria.

   Lo sigue con un bonito ejemplo, le sugiero que le eche un vistazo.

3. Ahora esta vez, se nos permite invertir todo en $(a)$ . En otras palabras, puedes dividir por una función que antes podía tener ceros. ¿Qué ha pasado geométricamente? Hemos quitado los ceros de esa función de $X$ . Pensamos en $R_a$ como las funciones regulares en el llamado estándar abierto set $D(a)=X \setminus Z(a)$ . Otra vez, $ \mathrm {Spec}$ nos pasa de funciones a puntos y pensamos en $ \mathrm {Spec}(R_a)$ como la subvariedad abierta $X \setminus Z(a)$ . Eso es, de hecho, muy exacto.