Supongamos que $m$ es un número entero tal que $9m^2 + 25m + 26$ es el producto de dos enteros consecutivos. Encontrar $m.$
Primero dejé que $k$ sea igual al mayor de los dos enteros consecutivos para poder plantear la ecuación $9m^2 + 25m + 26 = k(k-1).$ Sin embargo, no estoy seguro de hacia dónde ir. ¿Puede alguien darme una pista, por favor?
La idea clave es completando las casillas .
Dejemos que $y=18m+25$ . Entonces $9m^2 + 25m + 26 = k(k-1)$ se convierte en $y^2+311=(6k-3)^2-9$ . Por lo tanto, se reduce a escribir $320$ como diferencia de dos cuadrados, lo cual es fácil dada la factorización de $320$ . Sólo hay siete soluciones de $320=ab$ con $0\le a\le b$ . Sólo uno funciona y da $m=3$ y $k=14$ . Si se permiten números negativos, entonces también hay $m=3$ y $k=-13$ , $m=-2$ y $k=-3$ , $m=-2$ y $k=4$ .
Una forma posible :
Dejemos que $M=9m^2 + 25m + 26$
Entonces discriminante, $D$ de $k^2 \pm k - M=0$ es un cuadrado perfecto para raíz(es) entera(s) $k$ . Así que $D = 1 + 4M$ es un cuadrado perfecto.
$$4M + 1 = 36m^2 + 100m + 105$$
Comparar con las plazas cercanas $$ \begin{align} (6m + 8)^2 \cdots 36m^2 + 100m + 105 \cdots (6m + 9)^2 \\ 36m^2 + 96m + 64 < 36m^2 + 100m + 105 \cdots 36m^2 + 108m + 81 \\ \end{align} $$
Para $$ 36m^2 + 100m + 105 = 36m^2 + 108m + 81 $$
$m=3$ y $k=14$ , $-13$ .
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