No estoy seguro de mi comprensión de los grupos y cuaterniones. Estoy tratando de averiguar si sólo el uso de una tabla de Cayley (específicamente este ) puede mostrar el cierre de los cuaterniones bajo la multiplicación, ¿se necesita algo más o estoy completamente equivocado?
Respuesta
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El axioma del "cierre" es el de impar. Esto se debe a que no es necesario tomarlo como un axioma. Depende de su definición. Personalmente, me gusta definir mis grupos de la siguiente manera.
Un grupo es un conjunto $S$ con una operación binaria (multiplicación) $\ast: S\times S\rightarrow S$ tal que
(Asociatividad) $(g\ast h)\ast k=g\ast(h\ast k)$
(Identidad) Existe $1\in S$ tal que $g\cdot1=1\ast g=g$ para todos $g\in S$ .
(Inversos) Para todo $g\in S$ existe $h\in S$ tal que $g\ast h=1$ .
Obsérvese que aquí no hay ningún axioma de cierre. Esto se debe a que el enunciado "operación binaria" se encarga del cierre - nunca puedo salir del conjunto $S$ utilizando la operación $\ast$ . Esta definición es análoga a una tabla de Cayley: una tabla de Cayley describe una operación binaria, y son los otros tres axiomas los que hay que comprobar.
En resumen: si tiene una tabla de Cayley para su grupo, el cierre es inmediato. De lo contrario, no es una tabla de Cayley. Este es el caso que nos ocupa. Por otro lado, si tu profesor está tratando de engañarte, entonces puede meter un símbolo que no sea de tu grupo, y entonces el cierre no se produce. Pero entonces esto no es una tabla de Cayley...
