Pregunta sobre los grupos p de rango k

Question

¿Alguien conoce algún trabajo realizado sobre la densidad de los grupos de rango k en la colección de grupos de orden $p^n$ ? es decir, ¿sabemos que casi todos los grupos p son de rango 3, por ejemplo?

Gracias de antemano por cualquier sugerencia

Answer 1

En el documento

Higman, Graham, Enumerando $p$ -grupos. I. Desigualdades. Proc. London Math. Soc. (3) 10 1960 24-30,

se demuestra que el número de clases de isomorfismo de grupos de orden $p^n$ es $p^{An^3}$ , donde

$2/27−o(n)≤A≤2/15+o(n)$ .

El límite superior fue mejorado por Sims en

Sims, Charles C., Enumerando $p$ -grupos. Proc. London Math. Soc. (3) 15 1965 151-166.

donde se demuestra que $A=2/27+O(n^{−1/3})$ .

Higman estableció el límite inferior considerando sólo $p$ -grupos de clase 2, en los que $G/\Phi(G)$ y $\Phi(G)$ son abelianos elementales de órdenes alrededor de $p^{2n/3}$ y $p^{n/3}$ respectivamente.

Aunque esto no demuestra que casi todos los grupos de orden $p^n$ tienen rango sobre $2n/3$ sugiere que ese podría ser el caso.