¿Alguien conoce algún trabajo realizado sobre la densidad de los grupos de rango k en la colección de grupos de orden $p^n$ ? es decir, ¿sabemos que casi todos los grupos p son de rango 3, por ejemplo?
Gracias de antemano por cualquier sugerencia
Respuesta
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En el documento
Higman, Graham, Enumerando $p$ -grupos. I. Desigualdades. Proc. London Math. Soc. (3) 10 1960 24-30,
se demuestra que el número de clases de isomorfismo de grupos de orden $p^n$ es $p^{An^3}$ , donde
$2/27−o(n)≤A≤2/15+o(n)$ .
El límite superior fue mejorado por Sims en
Sims, Charles C., Enumerando $p$ -grupos. Proc. London Math. Soc. (3) 15 1965 151-166.
donde se demuestra que $A=2/27+O(n^{−1/3})$ .
Higman estableció el límite inferior considerando sólo $p$ -grupos de clase 2, en los que $G/\Phi(G)$ y $\Phi(G)$ son abelianos elementales de órdenes alrededor de $p^{2n/3}$ y $p^{n/3}$ respectivamente.
Aunque esto no demuestra que casi todos los grupos de orden $p^n$ tienen rango sobre $2n/3$ sugiere que ese podría ser el caso.
