Rompecabezas: El número de ecuaciones cuadráticas que son sin cambios por la cuadratura de sus raíces es

Question

Mi amigo me pidió este rompecabezas:

El número de ecuaciones cuadráticas que son sin cambios por la cuadratura de sus raíces es

Mi respuesta es: 3

$x^2-(\alpha+\beta)x +\alpha\beta = 0$

donde $\alpha$ $\beta$ ser las raíces.

caso 1: $\alpha$ = 0 $\beta$ = 0

caso 2: $\alpha$ = 1 $\beta$ = 1

caso 3:$\alpha$ 0 $\beta$ = 1

Pero mi amigo dice que respuesta es 4. ¿Por qué?

Answer 1

Su enfoque es bueno, acaba de pasarse por alto una solución. Como implícitas, debemos tener

$$\alpha^2+\beta^2=\alpha+\beta$$

y

$$\alpha^2\beta^2=\alpha\beta\;.$$

La segunda ecuación se cumple si al menos una raíz es $0$; esos son los casos de $1$$3$. También cumplió si $\alpha\beta=1$. Sustituyendo en la primera ecuación rendimientos

$$\alpha^2+\frac1{\alpha^2}=\alpha+\frac1\alpha\;,\\ \alpha^4-\alpha^3-\alpha+1=0\;.$$

Una solución es $\alpha=1$; que corresponde a su caso $2$. Dividiendo por $\alpha-1$ rendimientos

$$\alpha^3-1=0\;.$$

Nuevamente, esto ha $\alpha=1$ como una solución, pero también se $\alpha=\exp(2\pi\mathrm i/3)$$\alpha=\exp(2\pi\mathrm i/3)^2$. A estos dos juntos rendimiento de la cuarta solución que faltaban.

Answer 2

Cómo se trata sólo de escribir: $(x-\alpha)(x-\beta)=(x-\alpha^2)(x-\beta^2)$, lo $\alpha = \alpha^2$ $\beta=\beta^2$ o $\alpha=\beta^2$$\beta=\alpha^2$.

Si $\alpha=\alpha^2$,$\alpha=0\text{ or }1$. Del mismo modo, $\beta=0\text{ or } 1$. Así que hay tres ecuaciones (debido a $(\alpha,\beta)=(0,1)$ $(\alpha,\beta)=(1,0)$ el rendimiento de la misma cuadrática.)

Por otro lado, si $\alpha = \beta^2$$\beta=\alpha^2$,$\alpha^4=\alpha$. Si $\alpha=0\text{ or } 1$, $\beta=\alpha$ y ya hemos cubierto los cuadráticas arriba. Así que supongamos $\alpha\neq 0,1$. A continuación,$0=\alpha^2+\alpha +1 = \frac{\alpha^4-\alpha}{\alpha^2-\alpha}$. Pero entonces, $\beta=\alpha^2$ también es una raíz de $x^2+x+1$, por lo que la última ecuación cuadrática. ( $\beta = \alpha^2 = -(\alpha+1)$ $\beta^2 + \beta + 1 = \alpha^2+2\alpha+1 - (\alpha+1) + 1 = \alpha^2 + \alpha +1 = 0$.)

Así que usted consigue cuatro cuadráticas, $x^2$, $x^2-x$, $x^2-2x+1$, y $x^2+x+1$.

Así que el total es $4$.