Una duda sobre una demostración de la regla de la cadena para funciones suaves entre variedades suaves

Question

Estoy leyendo el Teorema 1.1 en este Notas de la conferencia.

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Teorema 1.1 (Regla de la cadena para los colectores). Supongamos que $f: X \rightarrow Y$ y $g: Y \rightarrow Z$ son mapas suaves de las variedades. Entonces: $$ \mathrm{d}(g \circ f)_{x}=(\mathrm{d} g)_{f(x)} \circ(\mathrm{d} f)_{x} $$

Prueba. Si $\varphi$ es una parametrización local de $x, \psi$ es una parametrización local de $y=f(x)$ y $\eta$ es una parametrización local de $z=g(f(x))$ , entonces esto es evidente de: $$ g \circ f=\left[\eta \circ\left(\eta^{-1} \circ g \circ \psi\right) \circ \psi^{-1}\right] \circ\left[\psi \circ\left(\psi^{-1} \circ f \circ \varphi\right) \circ \varphi^{-1}\right] $$ y la regla de la cadena habitual del análisis multivariante (ya que podemos diferenciar el RHS como antes utilizando la regla de la cadena habitual).

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En la prueba, $g \circ f = \Psi \circ \Phi$ con \begin{align} \Psi &:= \eta \circ\left(\eta^{-1} \circ g \circ \psi\right) \circ \psi^{-1} \\ \Phi &:= \psi \circ\left(\psi^{-1} \circ f \circ \varphi\right) \circ \varphi^{-1}. \end{align}

La composición de mapas suaves también es suave, por lo que $\Psi, \Phi$ son suaves. Sin embargo, $\operatorname{dom} (\Psi) = \operatorname{dom} (\psi^{-1})$ que está abierto en $Y$ pero no necesariamente abierto en su espacio euclidiano ambiente. La misma situación es válida para $\Phi$ . Así que $\Psi, \Phi$ no son diferenciables en el sentido habitual, por lo que no podemos aplicar la regla de la cadena en $\Psi \circ \Phi$ . Sin embargo, el autor dijo

"...podemos diferenciar el RHS como antes usando la regla de la cadena habitual...".

¿Podría explicar mejor mi confusión?

Answer 1

En la definición 1.8 de las notas de clase, se dice que si $f\colon X \to Y$ es suave y si $\varphi \colon U \to X$ y $\psi \colon V \to Y$ son parametrizaciones locales en barrios de $x$ y $f(x)$ entonces

$$ df_x = d\psi_{\psi^{-1}(f(x))} \circ d(\psi^{-1}\circ f \circ \varphi)_{\varphi^{-1}(x)} \circ \big[(d\varphi_{\varphi^{-1}(x)})^{-1} \big] $$ donde $d\varphi_{\varphi^{-1}(x)}$ se considera un isomorfismo de $\Bbb R^n \to T_xX$ es decir, olvidando el espacio euclidiano ambiente $\Bbb R^N$ alrededor de $X$ .

Lo mismo con $g$ en el punto $f(x)$ da $$ dg_{f(x)} = d\eta_{\eta^{-1}(g(f(x)))} \circ d(\eta^{-1}\circ g \circ \psi)_{\psi^{-1}(f(x))} \circ \big[(d\psi_{\psi^{-1}(f(x))})^{-1} \big] $$ donde $d\psi_{\psi^{-1}(f(x))}$ se considera un isomorfismo de $\Bbb R^{\tilde{n}} \to T_{f(x)}Y$ es decir, olvidando el espacio euclidiano ambiente $\Bbb R^{\tilde{N}}$ alrededor de $Y$ .

Para $g\circ f$ , se obtiene $$ d(g\circ f)_{g(f(x))} = d\eta_{\eta^{-1}(g(f(x)))} \circ d(\eta^{-1}\circ (g\circ f) \circ \varphi)_{\varphi^{-1}(x)} \circ \big[(d\varphi_{\varphi^{-1}(x)})^{-1} \big] $$

De este modo, se demuestra que $$ d(\eta^{-1}\circ (g\circ f) \circ \varphi)_{\varphi^{-1}(x)}= \big(d(\eta^{-1}\circ g \circ \psi)_{\psi^{-1}(f(x))}\big)\circ\big( d(\psi^{-1}\circ f \circ \varphi)_{\varphi^{-1}(x)}\big) $$

Esto no es más que la regla de la cadena aplicada a la composición de

$$ \psi^{-1}\circ f \circ \varphi \colon U \subset \Bbb R^n \to V \subset \Bbb R^{\tilde{n}} $$ y $$ \eta^{-1}\circ g\circ \psi \colon V \subset \Bbb R^{\tilde{n}} \to W \subset \Bbb R^{\tilde{\tilde{n}}} $$ que son funciones suaves definidas sobre y con rango en subconjuntos abiertos de espacios euclidianos.

Por cierto: hay una errata evidente en el croquis del autor: la flecha de en la esquina inferior derecha debería ser $\eta^{-1}\circ g \circ \psi$ no $\eta^{-1}\circ f \circ \psi$ .