Teoría de los Números - Los restos

Question

Un número es de la forma $13k_1+12$ y de la forma $11k_2+7$

Es decir $N = 13k_1 + 12 = 11k_2 + 7$

Ahora bien, ¿por qué N debe ser también igual a $(13 \times 11)k_3 + 51$ ?

Gracias

Answer 1

O bien, $N=13k_1+12 = 11k_2+7 \implies N-51 = 13(k_1-3)=11(k_2-4)$

Así, $N-51$ debe ser un múltiplo de ambos $13$ y $11$ .

Answer 2

Déjame dar un truco. Tenemos $N + 92 = 13k_1 + 104 = 13(k_1 + 8)$ y $N+92 = 11k_2 + 99 = 11(k_2 + 9)$ .

Entonces, $N+92 = 11\times 13 k_3$ o $N = 143k_3 -92$ o $N=143k_4 + 51$ .

Ver también enlace

Answer 3

$N$ como se define es $12$ mod $13$ por primera definición y $7$ mod $11$ por segunda definición, ya que tanto $13$ y $11$ son relativamente primos (de hecho primos) por lo tanto $N$ debe tener el mismo mod ( $13 \times 11$ ) también, el resto sigue manipulando el $12$ , $7$ residuos con $13$ , $11$

Answer 4

Encontrar una solución

Para encontrar un $N$ para que $$ \begin{align} N&\equiv12&\pmod{13}\\ N&\equiv7&\pmod{11} \end{align}\tag{1} $$ podemos empezar por resolver $$ 13x+11y=1\tag{2} $$ utilizando el Algoritmo Euclidiano Extendido. La aplicación descrita en esta respuesta da $$ \begin{array}{r} &&1&5&2\\\hline 1&0&1&-5&11\\ 0&1&-1&6&-13\\ 13&11&2&1&0\\ \end{array}\tag{3} $$ lo que implica $$ 13(-5)+11(6)=1\tag{4} $$ Utilizando $(4)$ podemos mostrar $$ \begin{align} 66&\equiv1&\pmod{13}\\ 66&\equiv0&\pmod{11} \end{align}\tag{5} $$ y $$ \begin{align} -65&\equiv0&\pmod{13}\\ -65&\equiv1&\pmod{11} \end{align}\tag{6} $$ $12$ veces $(5)$ más $7$ veces $(6)$ da $$ \begin{align} 337&\equiv12&\pmod{13}\\ 337&\equiv7&\pmod{11} \end{align}\tag{7} $$ Restando $2\cdot11\cdot13=286$ de los lados izquierdos de $(7)$ da $$ \begin{align} 51&\equiv12&\pmod{13}\\ 51&\equiv7&\pmod{11} \end{align}\tag{8} $$

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Encontrar una solución general

Si $N_1$ y $N_2$ son dos soluciones cualesquiera de $(1)$ entonces $$ \begin{align} N_1-N_2&\equiv0&\pmod{13}\\ N_1-N_2&\equiv0&\pmod{11} \end{align}\tag{9} $$ Por lo tanto, $$ N_1-N_2\equiv0\pmod{11\cdot13}\tag{10} $$ Reunir $(8)$ y $(10)$ obtenemos que todas las soluciones de $(1)$ vienen dadas por $$ N\equiv51\pmod{143}\tag{11} $$