¿Cómo demostrar que un perfil estratégico es un Equilibrio Propio?

Question

Considere el ejemplo dado en Artículo de Wikipedia sobre el equilibrio adecuado que es el siguiente:

Además, denotamos por $H$ la acción "esconder cabezas"; por $h$ la acción "adivinar cabezas", por $T$ la acción "esconder la cola" y por $t$ la acción "adivinar la cola". Además, deja que $g$ denotan la acción "agarrar un centavo". Por último, $\sigma_i(X)$ denota la probabilidad con la que el jugador $i$ elige la estrategia pura $X$ .

Entonces, es fácil ver que el conjunto de perfiles estratégicos dado por $\sigma_1(H) \in [0,1]$ y $\sigma_2(g)=1$ constituye el conjunto de Equilibrios de Nash de este juego. Además, también se puede demostrar que cualquiera de estos pares constituye un Equilibrio Perfecto de Mano Temblorosa. Para ello, definamos el $\epsilon$ -perturbado en el que el jugador $i$ juega $H$ con probabilidad $\sigma_i(H)\in[0,1]$ y juega $T$ con probabilidad $\sigma_i(T)=1-\sigma_i(H)$ ; mientras que el jugador $2$ juega $g$ con probabilidad $1-\epsilon_2^h-\epsilon_2^t$ , juega $t$ con probabilidad $\epsilon_2^t$ y juega $h$ con probabilidad $\epsilon_2^h$ . Por lo tanto, los pagos del $\epsilon$ -perturbado son los siguientes:

1. Para Jugador 1 , $u_1(H) = \epsilon_2^t-1$ y $u_1(T) = \epsilon_2^h-1$ .

2. Para Jugador 2 , $u_2(h) = \sigma_1(H)$ , $u_2(t) = \sigma_1(T)$ y $u_2(g) = 1$ .

Por lo tanto, se deduce que:

1. Para Jugador 1 , $u_1(H) = u_1(T) \Leftrightarrow \epsilon_2^t-1 = \epsilon_2^h-1$ . Por supuesto, es posible definir una secuencia $\{\epsilon_2^t,\epsilon_2^h\}_{k\geqslant 1}$ tal que $u_1(H) = u_1(T)$ es válida para cualquier $k \geqslant 1$ y $\{\epsilon_2^t,\epsilon_2^h\}_{k\geqslant 1} \longrightarrow 0$ como $k \longrightarrow \infty$ . Por ejemplo, la secuencia $\{\epsilon_2^t,\epsilon_2^h\}_{k\geqslant 1} \equiv \{1/k,1/k\}_{k\geq 1}$ satisface los requisitos.

2. Para Jugador 2 , $u_2(g) > u_2(h)$ y $u_2(g) > u_2(t)$ para cualquier secuencia $\{\epsilon_1^h\}_{k\geqslant 1}$ por ejemplo $\{\epsilon_1^h\}_{k\geqslant 1}\equiv\{1/k\}$ . Por lo tanto, en cualquier $\epsilon$ -perturbado juego, $\sigma_2(g)=1$ .

Creo que esto es suficiente para demostrar que cualquier perfil de estrategia de Equilibrio de Nash de este juego es también Perfecto de Mano Temblorosa. Sin embargo, no veo cómo puedo refinar más el argumento para demostrar que sólo uno de estos perfiles de estrategia es realmente Propio. Siguiendo la Artículo de Wikipedia sobre el equilibrio adecuado el único perfil de estrategia de equilibrio adecuado de este juego es:

$\sigma^{*} = \Big\{ \sigma_1^{*}(H)=\frac{1}{2}$ y $\sigma_2^{*}(g)=1\Big\}$

Intuitivamente, tiene sentido. Sin embargo, no se me ocurre cómo demostrar que $\sigma^{*}$ es el único Equilibrio Propio. Por lo tanto, mis preguntas son:

1. ¿Cómo puedo formalmente demostrar que $\sigma^{*}$ ¿es el único equilibrio adecuado de este juego?

2. ¿Puede usted mejorar mi argumento para demostrar que cualquier Equilibrio de Nash es también la Mano Temblorosa Perfecta de este juego?

Muchas gracias a todos por su tiempo.

Answer 1

Nunca planeé responder a esta pregunta, pero resulta que han pasado meses sin una respuesta y ahora sé cómo resolver este problema. Como se trata del ejemplo de Wikipedia, creo que responder a esta pregunta puede ser útil para otras personas. Abordemos ambas cuestiones.

1. He hecho algunas modificaciones a mi pregunta original. Ahora, creo que el razonamiento publicado arriba es un argumento suficientemente bueno para demostrar que todos los Equilibrios de Nash de ese juego son también Temblorosos Perfectos.

2. El requisito adicional al pasar de la Perfección de la Mano Temblorosa a la Corrección es que, dado algún perfil de estrategia NE y algún $\epsilon$ -perturbado juego, los errores más costosos son menos probables . Para ver cómo se traduce formalmente este principio en nuestro juego, supongamos que $\sigma_2(g)=1$ y, sin pérdida de generalidad, dejemos que $\sigma_1(H)>\sigma_1(T)$ (por simetría, se aplica un argumento análogo si $\sigma_1(H)<\sigma_1(T)$ ). Entonces, $\{\epsilon_2^t,\epsilon_2^h\}_{k\geqslant1}$ debe satisfacer $\{\epsilon_2^t,\epsilon_2^h\}_{k\geqslant1}\to 0$ como $k\to\infty$ y $\epsilon_2^t<\epsilon_2^h$ para todos $k\geqslant 1$ . Sin embargo, $u_1(H)<u_1(T)$ para cualquier secuencia de errores que satisfagan $\epsilon_2^t<\epsilon_2^h$ , lo que implica que $\sigma_1(H)<\sigma_1(T)$ . Esta contradicción demuestra que ningún perfil de estrategia que implique $\sigma_1(H)\neq\sigma_1(T)$ puede ser un Equilibrio propio. Dado que el conjunto de perfiles estratégicos de Equilibrio Propio no es vacío para juegos finitos y es también un subconjunto (potencialmente propio) de Equilibrio Perfecto de Mano Temblorosa, la prueba está hecha.

¡Espero que esto ayude a alguien más!