Demostrar que $A \setminus (B \setminus C) =(A \setminus B) \cup C \iff C \subset A$

Question

Demostrar que $A \setminus (B \setminus C) =(A \setminus B) \cup C \iff C \subset A$

Tengo lo siguiente:

Utilizando $X - Y = X \setminus Y = X \cap Y^c$ en:

$A \cap (B \cap C^c)^c = (A \cap B^c) \cup C$

entonces

$A \cap (B^c \cup C) = (A \cup C) \cap (B^c \cup C)$

Esta afirmación sólo es cierta si $C \subset A$ . Por lo tanto, hemos terminado.

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¿Es una prueba suficientemente rigurosa? Sé que normalmente resolvemos estos problemas dejando que algún elemento $x$ ser miembro de parte de la declaración y continuar a partir de ahí, pero ¿no debería ser suficiente lo que he escrito?

Answer 1

Para mí tu última afirmación "Este estado sólo es verdadero..." es casi tan grande como la afirmación original.

Lo que "necesitas" escribir depende de tu instructor (o realmente de tu calificador de tareas). Si yo hubiera asignado un problema de este tipo, no estaría contento con tu respuesta (no sólo porque sólo abordaste la mitad de la doble implicación). Me gustaría ver más sobre la implicación que abordaste.

Tal vez quieras reestructurar tu prueba más como el estilo que indicaste ("...normalmente resolvemos...").

Así que le sugiero que pruebe " $A \setminus (B \setminus C) =(A \setminus B) \cup C \Longrightarrow C \subset A$ " primero.

Esto significa que debe asumir que $A \setminus (B \setminus C) =(A \setminus B) \cup C$ " y luego suponer $x \in C$ y tratar de utilizar la declaración asumida para conseguir que $x \in A$ . [Esto es fácil ya que $x \in C$ implica que $x \in \mbox{anything} \cup C$ ].

A continuación, prueba " $A \setminus (B \setminus C) =(A \setminus B) \cup C \Longleftarrow C \subset A$ ". Para ello suponga $C \subset A$ y luego mostrar $x \in A - (B-C)$ implica $x \in (A-B) \cup C$ y a la inversa $x \in (A-B) \cup C$ implica que $x \in A-(B-C)$ .

Una parte de esto podría ir: Supongamos que $x\in A-(B-C)$ . Entonces $x \in A$ y $x \not\in B-C$ . Ahora $x \not\in B-C$ implica que, o bien $x \not\in B$ o $x \in C$ . Si $x \not\in B$ entonces $x \in A -B$ (ya que $x \in A$ ). Así, $x \in (A-B) \cup C$ . En caso contrario, si $x \in C$ entonces $x \in (A-B)\cup C$ . Por lo tanto, todos los $x\in A-(B-C)$ también pertenecen a $(A-B)\cup C$ . Así, $A-(B-C) \subset (A-B)\cup C$ .

Answer 2

Esto no es directamente una respuesta a tu pregunta, pero aquí hay una demostración en un estilo alternativo, donde primero usamos las definiciones de la teoría de conjuntos para traducirlas al "nivel lógico", de modo que podamos usar las leyes de la lógica. $ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\op}[1]{\\ #1 \quad & \quad \unicode{x201c}} \newcommand{\hints}[1]{\mbox{#1} \\ \quad & \quad \phantom{\unicode{x201c}} } \newcommand{\hint}[1]{\mbox{#1} \unicode{x201d} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\ref}[1]{\text{(#1)}} \newcommand{\then}{\Rightarrow} \newcommand{\followsfrom}{\Leftarrow} \newcommand{\true}{\text{true}} \newcommand{\false}{\text{false}} $

Utilizando este enfoque, la parte izquierda del enunciado pasa a ser: $$\calc A \setminus (B \setminus C) \;=\; (A \setminus B) \cup C \op=\hint{extensionality; definitions of $ \N - Setminus, \N - Cupón; $} \langle \forall x :: x \in A \land \lnot (x \in B \land x \not\in C) \;\equiv\; (x \in A \land x \not\in B) \lor x \in C \rangle \op=\hint{logic: DeMorgan -- simplifying to give both sides a similar shape} \tag 0 \langle \forall x :: x \in A \land (x \not\in B \lor x \in C) \;\equiv\; (x \in A \land x \not\in B) \lor x \in C \rangle \endcalc$$ Y el lado derecho es sólo $$\calc C \subseteq A \op=\hint{definition of $ \N - Subseteq; $} \langle \forall x :: x \in C \then x \in A \rangle \op=\hints{logic: $ \N - No \N - \N - Cloruro de calcio \N -; $ is a different way to write $ \N - Entonces, \N lapsi; $} \hint{-- usually $ \N - La vida de un hombre es una de las cosas más importantes de su vida; $ is not very easy to manipulate} \tag 1 \langle \forall x :: x \not\in C \lor x \in A \rangle \endcalc$$

Ahora, comparando las formas de $\ref 0$ y $\ref 1$ vemos que para demostrar que son equivalentes, basta con demostrar el siguiente enunciado de la lógica proposicional: $$ \tag 2 P \land (Q \lor R) \;\equiv\; (P \land Q) \lor R \;\equiv\; \lnot R \lor P $$ Esto es, de hecho, el "equivalente" a nivel lógico de la declaración original.

Esta es una prueba de $\ref 2$ : $$\calc P \land (Q \lor R) \;\equiv\; (P \land Q) \lor R \op=\hints{LHS: distribute $ |landia; $ over $ \ ~ - Cloruro de calcio; $} \hint{-- to give both sides a similar shape} (P \land Q) \lor (P \land R) \;\equiv\; (P \land Q) \lor R \op=\hint{$ \ ~ - Cloruro de calcio; $ distributes over $ \ ~ - Equivocarse; $} (P \land Q) \lor (P \land R \;\equiv\; R) \op=\hint{both $ \N - No \N - \N - Cloruro de calcio \N -; $ and $ \N - La vida de un hombre es una de las cosas más importantes de su vida; $ are alternatives for $ \N - Entonces, \N lapsi; $} (P \land Q) \lor \lnot R \lor P \op=\hint{use negation of $ \;P\; $ on other side of $ \ ~ - Cloruro de calcio; $} (\false \land Q) \lor \lnot R \lor P \op=\hint{simplify} \lnot R \lor P \endcalc$$

Eso completa la prueba.