Demostrar que $\Phi(x,y)=\pi(x)-\pi(y)+1$

Question

Definir, $\displaystyle \Phi(x,y)=\sum_{n\le x, \substack\\ p|n\implies p>y }1$ . Demostrar que si $\sqrt x <y\le x$ entonces, $\Phi(x,y)=\pi(x)-\pi(y)+1$ , donde $\pi(x)$ denota el número de primos menores o iguales a $x$ .

He deducido que $\displaystyle \Phi(x,y)=1+\sum_{y<p\le x}\Phi(x/p,p)$ . También tenemos, $\pi(x)-\pi(y)\le \Phi(x,y)$ . A partir de estos dos, ¿cómo proceder?

Answer 1

En realidad, estás mirando en una dirección un poco equivocada - más bien, considera el desglose de la propia definición: para un número $n$ para "contribuir a" $\Phi(x,y)$ por definición, tiene que tener todos sus factores primos $\gt y$ . Ahora, ¿qué se puede decir de los números compuestos con todos sus factores primos $\gt \sqrt{x}$ ?