Por qué la definición de valor óptimo es la $\inf{f_0(x)}$ en lugar de $\min{f_0(x)}$ ?

Question

Supongamos un problema de optimización

\begin{equation*} \begin{aligned} & \underset{x}{\text{minimize}} & & f_0(x) \\ & \text{subject to} & & f_i(x) \leq b_i, \; i = 1, \ldots, m. \end{aligned} \end{equation*}

Entonces, el valor óptimo se define como

$$p^{\star} = \inf\{f_{0}(x) \: | x \in \mathcal{A} \}$$

donde $A$ es el conjunto factible. Mi pregunta es que por qué usamos $\inf$ en lugar de $\min$ para representar el valor óptimo?

Answer 1

No todo conjunto tiene un valor mínimo, pero todo conjunto acotado por debajo tiene un valor mínimo. Si se utilizara min en lugar de inf, se perdería la posibilidad de hablar de muchas funciones

Answer 2

Como se ha dicho, el mínimo no siempre es alcanzable en el conjunto factible. En este caso hay que buscar el mínimo.

Sin embargo, en el contexto del planteamiento del problema, si $f$ es también una función continua y $A$ (el conjunto obtenible) es compacto, entonces el mínimo y el ínfimo son iguales y se puede alcanzar el ínfimo en el conjunto obtenible.

Answer 3

La forma más sencilla de entenderlo es echar un vistazo al enlace de la wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum , a partir de "Los conceptos de mínimo y supremum son similares a los de mínimo y máximo, pero son más útiles en el análisis porque caracterizan mejor los conjuntos especiales que pueden no tener mínimo ni máximo".