¿Cuando es un operador en $\ell_1$ el dual de un operador en $c_0$?

Question

Supongamos $T:\ell_1\to\ell_1$ es un operador lineal continuo. Cuando podemos decir que el $T$ es un doble, o el adjunto de un operador en $c_0$? En otras palabras, ¿en qué condiciones podemos encontrar un continuo lineal $S:c_0\to c_0$ tal que $T=S^*$?

Recordemos que $c_0$ es un subespacio de $\ell_\infty=\ell_1^*$, y así podemos hablar de la restricción $T^*|_{c_0}$$T^*:\ell_\infty\to\ell_\infty$$c_0$.

De la observación. Si $T^*c_0\subseteq c_0$ $T=S^*$ para algunos lineal continua $S:c_0\to c_0$.

Prueba. Observe que $(T^*|_{c_0})^*$ es un operador lineal continuo actuando en $\ell_1$. Pretendemos $T=(T^*|_{c_0})^*$. Si no, entonces no es$z^*\in\ell_1$, de modo que $Tz^*\neq(T^*|_{c_0})^*z^*$. Por lo tanto, no es $y^{**}\in c_0\subset\ell_\infty$ tal que $(Tz^*)(y^{**})\neq((T^*|_{c_0})^*z^*)(y^{**})$. Sin embargo,

\begin{equation*}((T^*|_{c_0})^*z^*)(y^{**})=z^*(T^*y^{**})=(T^*y^{**})(z^*)=y^{**}(Tz^*)=(Tz^*)(y^{**}),\end{ecuación*}

una contradicción. $\square$

Así, utilizando el anterior, podríamos buscar las condiciones para garantizar que $T^*c_0\subseteq c_0$. Tal vez podría ayudar a tratar de adaptar la anterior prueba a trabajar para ciertos tipos de transformaciones, decir $U,V:\ell_\infty\to\ell_\infty$$VT^*Uc_0\subseteq c_0$.

O, se podría tratar de un enfoque totalmente diferente. Sugerencias son bienvenidas!

P. S. sería fantástico si resultó que si $T$ no ser estrictamente singular (o han contables espectro), a continuación, $T=S^*$ algunos $S$. Sin embargo, eso se parece demasiado a la esperanza.

Answer 1

Tenemos la siguiente caracterización de los operadores adjuntos:

Supongamos que $X$ $Y$ normativa espacios. Si $T:X\rightarrow Y$ es un delimitada operador lineal, entonces $T^*$ es débil*débil* continuo. Por el contrario, si $S$ es un débil*débil* lineal continua operador de$Y^*$$X^*$, entonces no es un almacén lineal operador $T:X\rightarrow Y$ tal que $T^*=S$.

Para una prueba, véase Robert E. Megginson es Una Introducción al Espacio de Banach Teoría, el Teorema de 3.1.11.

Los siguientes dos hechos que también será útil aquí:

El delimitada lineal de operadores de $\ell_1$ a un espacio de Banach $X$ corresponden a las secuencias delimitadas en $X$. La correspondencia está dada por $Te_i^*=x_i$ para el delimitada secuencia $(x_i)$ donde $e_i^*$ $i^{\rm th}$ estándar vector unitario en $\ell_1$.

El delimitada operadores lineales de un espacio de Banach $X$ $c_0$corresponden a la débil*-null secuencias en $X^*$. La correspondencia está dada por $Tx=(x_i^* x)$ para el débil*-null secuencia $(x_i^*)$.

Desde el primer (y fácil) parte de la caracterización de los adjuntos de los operadores, se ve que el si $T:\ell_1\rightarrow\ell_1$ es el adjunto de un operador acotado, a continuación, $(Te_i^*)$ es débil*-null.

Por el contrario, supongamos $(x_i^*)$ es un débil*-null secuencia en la $\ell_1$. A continuación, $(x_i^*)$ está delimitado en $\ell_1$; por lo tanto, el operador lineal $T:\ell_1\rightarrow\ell_1$ definido por $Te_i^*=x_i^*$ está acotada. Además, el operador lineal $S:c_0\rightarrow c_0$ definido por $Sx=(x_i^* x)$ está acotada. Uno puede fácilmente demostrar a $S^* e_i^* =x_i^*$ por cada $i$:
$$ (S^* e_i^*)e_j=e_i^*(Se_j)=e_i^*(x_n^* e_j)=x_i^*e_j,\text{ para todo }j. $$ De ello se desprende que, $S^*=T$.

Para resumir, un operador $T:\ell_1\rightarrow\ell_1$ es el adjunto de un operador acotado si y sólo si $(Te_i^*)$ es débil*-null.