Lamentablemente, un resultado como Cualquier subconjunto linealmente independiente de un módulo puede extenderse a una base del módulo no suele ser válida, ni siquiera para los módulos libres, véase esta pregunta y respuesta .
El resultado es más general si $M'_1$ y $M_2$ o $M_1$ y $M'_2$ son planas, es decir, la tensorización con estos módulos es un functor exacto. En términos más prácticos: el producto tensorial es exacto, lo que significa que dado un epimorfismo $P \to P'$ de $R$ -y luego se tensa con un módulo arbitrario $R$ -Módulo $Q$ produce un epimorfismo $P \otimes Q \to P' \otimes Q$ . La tensorización no es, en general, exacta a la izquierda, es decir, los monomorfismos no se llevan necesariamente a monomorfismos.
Para este problema, observe que $f_1\otimes f_2$ puede descomponerse como $$ M_1 \otimes M_2 \overset{f_1 \otimes \text{id}}{\longrightarrow} M_1' \otimes M_2 \overset{\text{id} \otimes f_2}{\longrightarrow} M_1' \otimes M_2'. $$ si asumimos $M_1', M_2$ para ser plana, entonces, por la discusión anterior, $f_1 \otimes \text{id}_{M_2}$ y $\text{id}_{M_1'} \otimes f_2$ son monomorfismos, por lo que también lo es $f_1\otimes f_2$ .
Descomponiendo $f_1 \otimes f_2$ como $(\text{id}_{M_2'} \otimes f_1) \circ (f_2 \otimes \text{id}_{M_1})$ da el mismo resultado para $M_2', M_1$ plana.
Los módulos libres son planos, al igual que los módulos proyectivos, por lo que este resultado es cierto para clases enormes (pero ciertamente muy "mansas") de $R$ -módulos. Intentaré pensar en algunos contraejemplos para módulos no planos y editaré esto más tarde.
Espero que esto ayude.
