$\sin(\pi x)\geq\frac{x}{2}$ para $0\leq x\leq \frac34$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $\sin(\pi x)\geq\dfrac{x}{2}$ para $0\leq x\leq \dfrac34$ ? Tiene un aspecto muy sencillo, pero el $\sin x\leq x$ no parece ayudar.

Answer 1

Obsérvese que la igualdad se mantiene en $0$ y la desigualdad se mantiene en $x = \frac 3 4$ ya que

$$\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2} > \frac 3 8$$

Por otro lado, la función $$f(x) = \sin \pi x - \frac x 2$$

es cóncava hacia abajo, por lo que se encuentra por encima de la línea que une los puntos $(0, 0)$ y $\left(\frac 3 4, f\left(\frac 3 4\right)\right)$ .

Answer 2

Es fácil verlo gráficamente. Dado que $\sin(\pi x)$ es cóncava en el intervalo $[0,3/4]$ tenemos $$\underbrace{\sin(\pi x)}_{\sin \text{curve}} \geq \overbrace{\dfrac{\sin(\pi \cdot 3/4)}{3/4} x}^{\text{line joining 0 and 3/4}} = \dfrac{4 \sin(\pi/4)}3 x = \dfrac{2\sqrt2}{3}x$$