Editado para añadir el Lemma 3.4.
El libro "An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry" de William Boothby tiene la siguiente definición de conexión.
(3.1) Definición. A $C^\infty$ conexión $\nabla$ en un colector $M$ es un mapeo $\nabla: \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \to > \mathfrak{X}(M)$ denotado por $\nabla:(X,Y)\to \nabla_X Y$ que tiene las propiedades de linealidad: Para todo $f,g\in C^\infty(M)$ y $X,X',Y,Y'\in > \mathfrak{X}(M)$ tenemos
(1) $\nabla_{fX+gX'}Y = f(\nabla_x Y) + g(\nabla_{X'}Y)$
(2) $\nabla_X(fY+gY')=f\nabla_X Y + g\nabla_X Y' + (Xf)Y+(Xg)Y'$
El libro introduce un corolario que pretende demostrar que $(\nabla_X Y)_p=\nabla_{X_p} Y$ porque la definición de conexión no lo indica inmediatamente. Pero no entiendo la prueba del siguiente corolario. En particular, no me queda claro qué es $\tilde{X}$ y cómo se utiliza para mostrar la dependencia de $X$ en $p$ y no en el conjunto de $X$ .
(3.4) Lemma. Sea $X,Y\in \mathfrak{X}(M)$ y supongamos que $X=0$ o $Y=0$ en un conjunto abierto $U\subset M$ . Si $\nabla$ es una que satisface las propiedades (1) y (2) de la definición 3.1], entonces el campo vectorial $\nabla_X Y = 0$ en $U$ .
(3.5) Corolario. Sea $p$ sea cualquier punto de $M$ . Si $X,X'\in\mathfrak{X}(M)$ tal que $X_p=X'_p$ entonces para cada campo vectorial campo $Y$ , $(\nabla_X Y)_p=(\nabla_{X'} Y)_p$ . Denotemos este vector determinado unívocamente determinado por $\nabla_{X_p}Y$ . Entonces, el mapeo de $T_p(M)\to > T_p(M)$ definido por $X_p\to \nabla_{X_p}Y$ es lineal.
Prueba. Sea $U,\varphi$ sea una vecindad de coordenadas del punto $p$ . Al igual que en la demostración del lema, existe una $C^\infty$ función en $M$ con $\text{supp}(f)\subset U$ y $f\equiv1$ en un barrio $V$ de $p$ (así $\overline{V}\subset U$ ). Si $X\in\mathfrak{X}(M)$ y, a continuación, en $U$ tenemos $$X=\sum_{i=1}^n a_i E_i$$ con $a_i\in C^{\infty}(U)$ y $E_1,\ldots,E_n$ los vectores de los marcos de coordenadas. Definimos $\tilde{X}, \tilde{E_1},\ldots, \tilde{E_n}\in\mathfrak{X}(M)$ y $\tilde{a_1},\ldots,\tilde{a_m}\in C^{\infty}(M)$ por $\tilde{X}=f^2X,\tilde{E_i}=fE_i$ y $\tilde{a_i}=fa_i, i=1,\ldots,n$ , en $U$ y que todos sean cero (vectores y funciones respectivamente) en el conjunto abierto $M-\text{supp}(f)$ . Entonces tenemos $$\tilde{X}=\tilde{a_1}\tilde{E_1}+\cdots+\tilde{a_n}\tilde{E_n}$$ en todos los $M$ pero en $\overline{V}$ esto se reduce a la ecuación anterior ya que $\tilde{X}=X$ , $\tilde{E_i}=E_i$ y $\tilde{a_i}=a_i$ en este conjunto. Aplicando el lema 3.4 y la propiedad (1) de $\nabla$ da $$\nabla_X Y=\nabla_{\tilde{X}} Y = \sum_{i=1}^n \tilde{a_i}\nabla_{\tilde{E_i}} Y \quad\text{on}\quad V$$ . Por lo tanto, $$(\nabla_X Y)_p = \sum \tilde{a_i}(p)(\nabla_{\tilde{E_i}} Y)_p = \sum a_i(p)(\nabla_{E_i}Y)_p$$ donde el lado derecho sólo depende de el valor $X_p$ del campo vectorial $X$ en $p$ . Esto demuestra la primera afirmación y la propia fórmula demuestra que el mapeo $X_p\to\nabla_{X_p}Y=(\nabla_X Y)_p$ es un mapeo lineal de $T_p(M)$ en sí mismo. Porque su valor depende linealmente de los componentes $a_1(p),\ldots,a_n(p)$ de $X_p$ en relación con la base $E_{1p},\ldots,E_{np}$ de $T_p(M)$ .
