Demuestre que el conjunto de funciones continuas $C[a,b]$ es un espacio vectorial

Question

Tengo una pregunta sobre cómo demostrar que algo es un espacio vectorial. Por ejemplo, estoy tratando de demostrar el axioma 6: $$ (A + B)(f(x)) = A(f(x)) + B(f(x)), $$ donde $A$ y $B$ son constantes.

A mí me parece que esto es de sentido común. Sólo hay que distribuir. ¿Hay una manera más formal de demostrar esto? Me encuentro atascado muchas veces cuando intento demostrar que algo es un espacio vectorial porque parece demasiado obvio.

Answer 1

Estoy totalmente de acuerdo en que "demostrar" que el espacio definido cumple con este axioma de la definición de un espacio vectorial parece trivial. El sentido común sí que nos dice que podemos "distribuir sin más", y ese es el problema. Tenemos que ser cautelosos con nuestro sentido común en las pruebas, porque es exactamente lo que nos permitirá omitir un paso importante, o incluso peor, obtener un resultado inválido.

Veo que esta prueba tiene que ver con la notación. Estamos utilizando la misma notación, es decir, el paréntesis en algo como $(x)y$ para significar dos operaciones diferentes: la multiplicación de un número real por una función continua en $[a,b]$ y la operación de multiplicación escalar en nuestro espacio vectorial candidato. Lo que tenemos que demostrar es que la multiplicación de una función continua por un número real cumple los atributos necesarios para ser una operación de multiplicación escalar válida.

En concreto, así es como escribo una "prueba" (es tan simple que dudo en llamarla así) para este axioma: $$(A+B)(f(x))=((A+B)f)(x)=(Af+Bf)(x)=(Af)(x)+(Bf)(x)=A(f(x))+B(f(x))$$ Las expresiones antes del primer signo igual y después del último signo igual utilizan paréntesis para denotar la multiplicación escalar en el espacio vectorial. La segunda expresión utiliza los paréntesis alrededor de $A+B$ para denotar la multiplicación de una función por un número real, que es donde está el meollo de esta prueba.

Parece absolutamente una cosa casi insultantemente simple de probar, y esas son las áreas exactas en las que me recuerdo a mí mismo que debo ser más cuidadoso sobre cómo estoy pensando.

Answer 2

Si $f$ y $g$ son funciones reales con un dominio común $D$ definimos $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ para $x\in D$ y $cf(x) = c\cdot f(x)$ para $x \in D$ y para una constante $c$ . Esto da una estructura de espacio vectorial. Las funciones continuas serán un subespacio si $D$ es un espacio topológico.