En realidad, el resultado del aparato experimental es un intervalo $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ . $\delta>0$ se queda para la precisión del instrumento, que puede hacerse cada vez más pequeño, pero no puede eliminarse.
Por lo tanto, se supone que ( El axioma de Luders-von Neumann ) que, si el estado inmediatamente anterior a la medición estaba determinado por la función de onda $$\psi\:,$$ el inmediatamente posterior es, hasta la normalización, $$\chi_{(x-\delta, x+\delta)}\psi\:.$$ Aquí $\chi_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}(x)=1$ si $x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)$ y $\chi_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}(x)=0$ si $x\not \in (x_0-\delta, x_0+\delta)$ .
De forma abstracta, si el estado vectorial inicial es $\psi$ el último es $P_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}\psi$ . El operador $P_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}$ siendo el proyector ortogonal del PVM del operador de posición asociado al intervalo $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ .
Evidentemente, esta es la descripción teórica de un procedimiento de medición muy ideal.
Si, a diferencia del observable de posición cuyo espectro es continuo, el proceso de medición se refiere a un observable $A$ con espectro de puntos y los elementos del espectro son puntos aislados, siempre es posible suponer la existencia de un instrumento de medida cuya sensibilidad $\delta>0$ es menor que la distancia de pares de valores consecutivos de $A$ . De este modo, aunque la medición se vea afectada por un error experimental representado por $\delta>0$ podemos distinguir entre pares de valores propios y el axioma de Luders-von Neumann adopta la forma estándar más conocida: El estado después de la medición con resultado $a_0$ está representado por el vector propio con valor propio $a_0$ . (Esto es cierto si el eigespacio tiene dimensión $1$ de lo contrario, la forma abstracta general del axioma de L-vN vuelve a ser válida).
ADDENDUM (Después de algunas discusiones con valerio92).
Aquí demuestro en detalle cómo la forma general del postulado de L-vN conduce al postulado estándar del colapso de la función de onda después de una medición imprecisa de la posición.
Para un sistema cuántico descrito sobre el espacio complejo separable de Hilbert $\cal H$ , a estado cuántico es una medida de probabilidad $\mu$ sobre la red no booleana $\cal L(\cal H)$ de proyectores ortogonales en el espacio de Hilbert (véase este respuesta de la mía para más detalles). $P \in \cal L(\cal H)$ tiene el significado de un observable cuyos valores son sólo $0$ o $1$ Me refiero a un SÍ/NO observable . $\mu(P)$ es la probabilidad de que $P$ resulta ser cierto si se mide cuando el estado es $\mu$ .
Teorema de Gleason demuestra que, si el espacio de Hilbert es separable con dimensión $\neq 2$ existe una correspondencia uno a uno entre estas medidas de probabilidad y matrices de densidad . Se trata de operadores unitarios, de clase de traza, positivos $\rho : \cal H \to \cal H$ . Esta correspondencia es tal que $$\mu_\rho (P) = tr(\rho P)$$ por cada $P \in \cal L (\cal H)$ .
La forma general del axioma de L-vN es la siguiente.
El axioma de L-vN . Dejemos que $P$ sea un proyector ortogonal que represente un observable elemental del sistema físico y $\rho$ un estado. Si el resultado de la medición de $P$ cuando el estado es $\rho$ es $1$ (SÍ), el estado posterior a la medición es $$\rho_P = \frac{P\rho P}{tr(\rho P)}\:.\tag{1}$$ Este postulado tiene una interpretación directa de probabilidad condicional: $\mu_{\rho_P}$ es la única medida de probabilidad tal que $$\mu_{\rho_P}(Q) = \frac{\mu(Q)}{\mu(P)}$$ por cada $Q \in \cal L (\cal H)$ con $Q \leq P$ .
Estados puros por definición son elementos extremos del cuerpo convexo de las medidas mencionadas. En otras palabras, una matriz de densidad $\rho$ es un estado puro si no hay $p,q\in (0,1)$ con $p+q=1$ y las matrices de densidad $\rho_1\neq \rho_2$ tal que $\rho = p\rho_1 + q \rho_2$ .
Resulta que $\rho$ es puro si y sólo si tiene la forma $$\rho = |\psi \rangle \langle \psi |$$ para algunos $\psi \in \cal H$ con $||\psi||=1$ .
Evidentemente, los vectores unitarios $\psi$ y $\psi'$ definen el mismo estado puro si y sólo si $\psi = e^{ia}\psi'$ para algunos $a \in \mathbb R$ .
El postulado de L-vN aplicado a los estados puros se especializa en esta afirmación
Axioma de L-vN (estados puros) . Dejemos que $P$ sea un proyector ortogonal que represente un observable elemental del sistema físico y $|\psi \rangle \langle \psi |$ un estado puro. Si el resultado de la medición de $P$ cuando el estado es $|\psi \rangle \langle \psi |$ es $1$ (SÍ), el estado posterior a la medición sigue siendo puro tiene la forma $$|\psi_P \rangle \langle \psi_P | = \frac{P|\psi \rangle \langle \psi | P}{tr(|\psi \rangle \langle \psi | P)}\:.\tag{2}$$
Desde $tr(|\psi \rangle \langle \psi | P)= ||P \psi||^2$ para que $$|\psi_P \rangle \langle \psi_P | = \frac{P|\psi \rangle \langle \psi | P}{||\psi|| \: ||\psi||}\:,$$ el postulado se puede reformular de la siguiente manera.
Axioma de L-vN (estados puros 2) . Dejemos que $P$ sea un proyector ortogonal que representa un observable elemental del sistema físico y que el vector unitario $\psi \in \cal H$ representan un estado puro hasta las fases. Si el resultado de la medición de $P$ cuando el estado está representado por $\psi$ es $1$ (SÍ), el estado posterior a la medición sigue siendo puro y está representado, hasta las fases, por el vector unitario $$\psi_P = \frac{P\psi}{||P\psi||}\:.\tag{3}$$
Lleguemos finalmente a la posición observable para una partícula que se mueve a lo largo del eje real.
Aquí ${\cal H} = L^2(\mathbb R, dx)$ y el observable de posición es el operador multiplicativo autoadjunto $$(X \psi)(x):= x\psi(x)$$ con un dominio evidente.
La descomposición espectral de $X$ lo asocia a la medida valorada por el proyector $\{P_E\}_{E \in B(\mathbb R)}$ donde $B(\mathbb R)$ es la clase de conjunto de Borel del eje real, por ejemplo $E$ podría ser un intervalo $E=(a,b)$ . El teorema espectral dice que $P_E$ se define así $$(P_E \psi)(x):= \chi_E(x)\psi(x)\quad \forall x \in \mathbb R\:.\tag{4}$$ El significado del proyector ortogonal $P_E$ es
$$\mbox{"the position of the particle stays in $ E $"}$$
De hecho, si $\psi \in L^2(\mathbb R, dx )$ es un vector normalizado que representa un estado puro, la probabilidad de que $P_E$ es cierto es $$tr(P_E |\psi\rangle \langle \psi|)= ||P_E\psi||^2 = \int_{\mathbb R} |\chi_E(x) \psi(x)|^2 dx = \int_E |\psi(x)|^2 dx\:,$$ en perfecto acuerdo con las versiones más elementales de la Mecánica Cuántica.
Con esta interpretación, la medición $X$ significa medir cada $P_E$ o al menos medir la clase de proposiciones elementales mutuamente excluyentes $P_{(ns, (n+1)s]}$ con $n \in \mathbb Z$ donde $s$ es la sensibilidad del instrumento.
Supongamos que el estado inicial de la partícula es puro y (hasta las fases) representado por la función de onda (normalizada) $\psi$ . Supongamos que realizamos una medición de la posición y encontramos que la partícula se mantiene en $E \subset \mathbb R$ . ¿Cuál es el estado posterior a la medición según el postulado de Luders y von Neumann?
Podemos aplicar nuestra tercera versión, la especializada en estados puros descritos en términos de vectores unitarios. El estado posterior a la medición $\psi_E$ hasta la fase, está representada por el vector de (3): $$\psi_E := \frac{P_E \psi}{||P_E \psi||}\:.$$ Teniendo en cuenta (4), encontramos $$\psi_E(x) = \frac{\chi_E(x) \psi(x)}{\sqrt{\int_E |\psi(z)|^2 dz}}\:.$$
