¿Cómo calcular un PMF conjunto a partir de dos PMF, dado que uno está condicionado al otro?

Question

Dejemos que $N$ sea una variable aleatoria entera positiva con un PMF de la forma

$p_N(n)= \dfrac{1}{2}n2^{n}, n=1,2,….$

Una vez que sucede N, la variable aleatoria $K$ cuyo PMF (condicional) es uniforme en el conjunto $\{1,2,…,2n\}$ se dibuja entonces.

Cómo se escribiría el PMF conjunto para N y K, $p_{N,K}(n,k)$ para $n = > 1, 2, ...$ y $k = 1, 2, ..., 2n.$

Para intentar tener una idea de esto, elegí $n = 4$ . Entonces, tendría:

 |--- n --- |--- p_N(n) ---|---p_{K|n} ---|

      1           1/4            1/2

      2           1/4            1/4

      3          0.187           1/6 

      4          0.125           1/8

Pensé que esto me ayudaría a aclarar la relación entre $N$ y $K$ pero no lo hizo. Entonces intenté

$p_{N,K}(n,k) = \dfrac{1}{2}n2^{n} . \dfrac{1}{n} = \dfrac{2^{-n}}{2}$ pero entonces no terminaría con un $k$ variable.

Se me ocurre que tal vez en la ecuación de abajo debería haber utilizado $\dfrac{1}{k}$ en lugar de $\dfrac{1}{n}$ pero esto no tiene sentido para mí. El número $k$ es una realización de la variable aleatoria $K$ , mientras que el número $n$ es lo que define la probabilidad de $K$ .

Agradecería cualquier aportación para corregir mis ideas erróneas y partir de ahí.

Answer 1

Hacer un diagrama de la distribución conjunta puede ayudar a comprender mejor la respuesta correcta (y a detectar las respuestas incorrectas que puedan ofrecerse).

Por lo general, no es necesario esforzarse mucho en esto -es principalmente un ejercicio conceptual-, pero para mayor precisión le pedí a una computadora que dibujara este diagrama:

Este diagrama sitúa un punto en cada punto con coordenadas $(n,k)$ donde la probabilidad es distinta de cero. (Los puntos están coloreados y dimensionados en proporción a sus probabilidades.) Para ello, crea tiras verticales de puntos, porque cada una de esas franjas corresponde a un evento con un único valor de $n.$ Por lo tanto, esas franjas reflejan la información de la probabilidad condicional, que dice que la franja posicionada sobre un número entero $n$ debe tener puntos en las alturas $k=1,2,\ldots, 2n$ (todos con igual probabilidad dentro de cada franja). He resaltado la franja para $n=4$ porque corresponde al trabajo intentado en la pregunta.

A la derecha de cada punto he puesto una fórmula para el conjunta (no la condicional). Recordemos que la probabilidad conjunta en $(n,k)$ debe ser el producto de

• La probabilidad de $n,$ dado por $1/2\times n \times 2^{-n},$ y

• La probabilidad condicional de $k$ dado $n.$ Porque se supone que es uniforme y cubre $2n$ posibilidades, esta probabilidad condicional es $1/(2n).$

Así, la fórmula de la probabilidad conjunta es

$$P(n,k) = P(n)\times P(k\mid n) = \left\{\begin{array}{lr}\frac{1}{2}\,n\,2^{-n}\,/\,(2n) & 1 \le k \le 2n \\ 0 & \text{otherwise.}\end{array}\right.$$

Observe que la expresión del lado derecho se simplifica:

$$\frac{1}{2}\,n\,2^{-n}\,/\,(2n) = 2^{-(n+2)}.$$

Si lo desea, puede cotejar estos valores con el diagrama.

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Como una prueba de realidad, verifiquemos que las probabilidades suman la unidad pero lo haremos de una manera diferente a la que construimos el diagrama para que la comprobación pueda detectar cualquier error que hayamos cometido. Sumemos las probabilidades por filas:

• En la parte inferior dos filas con $k=1$ y $k=2,$ que son idénticos, se puede leer la secuencia de probabilidades de izquierda a derecha como $2^{-1-2}, 2^{-2-2}, 2^{-3-2}, \ldots = 1/8, 1/16, 1/32, \ldots.$ Se trata de una serie geométrica que suma (obviamente) a $1/4.$ Las dos filas juntas suman $1/2.$

• En las dos siguientes filas con $k=3$ y $k=4,$ que son idénticos, la secuencia de probabilidades es la misma que antes, pero omitiendo el primero. Obtenemos dos filas que suman $1/16 + 1/32 + 1/64 + \cdots = 1/8.$ Las dos filas juntas suman $1/4.$

• El patrón es evidente: cada vez que se suben dos filas se ven las mismas probabilidades que antes pero (a) multiplicadas por $1/2$ y (b) desplazado una unidad a la derecha. Así, los dos siguientes suman $1/4\times 1/2 = 1/8,$ los dos siguientes suman a $1/8\times 1/2=1/16,$ y así sucesivamente.

Evidentemente la suma de todas las probabilidades es $1/2 + 1/4 + 1/8 + \cdots = 1,$ como debería ser.

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Como proposición matemática En este diagrama se ha mostrado cómo evaluar la suma

$$\sum_{n=1}^\infty n\, 2^{-n} = 2$$

dividiendo cada término $n 2^{-n}$ en $2n$ piezas separadas de tamaño $2^{-(n+1)}$ y luego añadir esas piezas en un orden diferente. La evaluación sólo requiere saber que $1/2+1/4+1/8+\cdots = 1.$

Answer 2

La distribución condicional es $$p_{K|N=n}(k)=\frac{1}{2n},\ \ \ k=1,\dots,2n$$

Para la articulación, basta con multiplicar esto por $p_N(n)$ que ya hiciste con un condicional ligeramente erróneo, es decir $1/n$ . No necesariamente tienes que $k$ como una variable en su distribución conjunta. En cuanto a la distribución uniforme, la desaparición de algunas variables de PMF/PDF no debería sorprenderte. Por lo tanto, la junta es: $$p_{N,K}(n,k)=\frac{2^{-n}}{4},\ \ n\in \mathbb{Z^+}, k\in [1,2n], k\in \mathbb{Z^+}$$