Si eres como yo, el problema es encontrar una estrategia.
Y la estrategia de que figurar cada anillo tiene $3$ opciones de dedos para que haya $3^8$ formas de elegir los dedos para cada anillo, es un callejón sin salida ya que el orden importa y no podemos multiplicar directamente por cualquier valor de elección o permutación para cada dedo ya que no sabemos cuántos anillos hay en cada dedo.
Podemos optar por decir que cada dedo tiene $aPb = \frac {a!}{(a-b)!}$ donde $a$ son el número de anillos que quedan, y $b$ son el número de anillos en el dedo:
Entonces la respuesta es $\sum_{k= 8,-1}^0 (8 P k)\sum_{j=0}^k(k P j)(k-j P k-j)$ . Lo cual parece intimidante pero: $(k P j)(k-j P k-j) = \frac {k!}{(k-j)!}(k-j)! = k!$ y así $sum_{j=0}^k (k P j)(k-j P k-j) = \sum k! = (k+1)k! = (k+1)!$ y $\sum_{k= 8,-1}^0 (8 P k)\sum_{j=0}^k(k P j)(k-j P k-j) = \sum_{k = 0}^8 \frac{8!}{k!}*(k+1)! = 8! \sum_0^8 (k+1) = 8!\sum_{i=1}^9 i = 8!\frac{9*10}2 = 8!*45$ .
Pero la forma más sencilla de pensar en ello es que si todos los anillos fueran idénticos y hubiera $N$ formas de colocar $8$ cosas en $3$ dedos. Y hay $8!$ formas de organizar los 8 anillos. Habría $8!N$ formas de organizar 8 anillos diferentes.
Hay dos maneras de resolver $N$ . Puede poner $a$ = cero a $8$ anillos en el dedo $1$ y puedes poner $b$ = 0 a $8-a$ en el dedo 2 y todo el resto en el dedo 3. Es decir $\sum_{a=0}^8\sum_{b=0}^{8-a}1 = \sum_{a=0}^8 9-a = \sum{a=8,-1}^0 a+1 = \sum_{i=1}^9 i = \frac {9*10}2 = 45$ .
O bien: hay que dividir $8$ en tres dedos. Ponerlos uno tras otro. Hay nueve puntos en el tiempo entre $0$ y $8$ que puedes poner en un "marcador de ir al siguiente dedo". Entre los $0$ a $8$ anillo y el marcador hay 10 lugares para poner un segundo marcador. Hay ${10 \choose 2} =\frac {10!}{2!8!} = \frac {10*9}n = 45$ .
De cualquier manera hay $45*8!$ formas de hacerlo.
\==== respuesta antigua que era corriente de pensamiento con errores en el camino a continuación === podría ser iluminador para el proceso de pensamiento ... o podría ser frustrante, ya que toma un tiempo para obtener la respuesta correcta =====
Si el orden no importa entonces cada anillo puede ir en cualquier dedo es $3^8$ (no $8^3$ ) es correcto.
Pero si el orden en los dedos importa (la esmeralda en el dedo corazón bajo el oro es diferente que la esmeralda en el dedo corazón sobre el oro) es una cuestión diferente.
De una manera: Coloca los anillos en el orden en que los vas a poner. Hay $8*7*6= \frac {8!}{(8-3)!}$ (¿es eso lo que $8 P 3$ ¿se define como tal? Creo que sí.) formas de organizar . Entonces cada anillo (en orden) tiene una opción de tres dedos para ser colocado. Así que la respuesta es $8P3*3^8$ .
\==== Oh, F###; eso es contar más ====
Si el anillo de diamante es 1 y elegimos el dedo uno y la esmeralda es 2 y elegimos el dedo dos es lo mismo que la esmeralda es 1 y elegimos el dedo dos y el diamante es 2 y elegimos el dedo uno.
Oh, bueno, voy a dejar esto como alimento para la reflexión. pero... es una respuesta equivocada.
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Mi primer pensamiento fue el más difícil. Puedes elegir $a$ anillos para el primer dedo y $b$ anillos para el segundo y $8 - a -b$ para el tercero y así
$\sum_{a= 0}^8 (8Pa)\sum_{b=0}^{8-b}([8-b]Pb)*([8-b-a]!)$
La lógica me dice que esa suma debe sumar $8P3*3^8$ (EDIT: No lo hace) pero ... No me gustaría trabajar en realidad (EDIT: pero puede que tenga que ... parece que la respuesta correcta todavía.).
(En realidad mi muy El primer pensamiento fue que el orden no importaba y que los anillos eran todos iguales, así que sería $\sum_{a=0}^8 \sum_{b=0}^{8-a} 1 = \sum_{a=0}^8 9-a = 9^2 - \frac{8*9}4= 45$ ).
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Aquí hay una segunda forma. Vamos a poner todos los anillos en orden todos los anillos en el primer dedo primero, luego los anillos en el segundo, y luego el tercero.
Hay $8!$ formas de organizar los anillos y $\sum_{a=0}^8 \sum_{b=0}^{8-a} 1 = 45$ formas de colocar los dos "descansos" cuando dejamos de poner anillos en un dedo y empezamos a ponerlos en el otro.
Así que $8!*45$ . ¿Es eso cierto?
Cualquiera con tiempo en sus manos quiere ver si $\sum_{a= 0}^8 (8Pa)\sum_{b=0}^{8-b}([8-b]Pb)*([8-b-a]!) = 8!*45=8! {10 \choose 2}$ ?
