$M$ puede ser diagonalizado si el polinomio mínimo $m$ para $M$ se divide completamente en factores lineales no repetidos $m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)(\cdots)(\lambda-\lambda_N)$ . La prueba habitual de esto implica el único ( $N-1$ )-polinomios de primer orden $p_{k}$ de tal manera que $p_{k}(\lambda_{j})=\delta_{j,k}$ . Entonces $\sum_{k=1}^{N}p_{k}\equiv 1$ porque la suma es un $(N-1)$ -polinomio de primer orden que es $1$ en $N$ lugares. Por lo tanto, $$ I = p_1(M)+p_2(M)+\cdots+p_N(M). $$ Además $p_j(M)p_k(M)=0$ para $j \ne k$ porque $m$ divide $p_j p_k$ para $j \ne k$ . Por lo tanto, cada $p_j(M)$ es una matriz de proyección; para ver esto, aplique $p_j(M)$ a la identidad anterior: $$ p_j(M)=p_j(M)^{2}. $$ Además $(M-\lambda_k I)p_k(M)=0$ lo que implica $$ M = \lambda_1 p_1(M)+\lambda_2 p_2(M)+\cdots+ \lambda_N p_N(M). $$ Si $M_1,M_2,M_3,\cdots,M_J$ son matrices diagonalizables conmutables, se puede realizar la construcción anterior para cada $M_j$ para obtener los valores propios $\lambda_{j,1},\lambda_{j,2},\cdots,\lambda_{j,K_{j}}$ y los polinomios $p_{j,1},p_{j,2},\cdots,p_{j,K_j}$ para cada $1 \le j \le J$ . Porque el $M_j$ conmutan, entonces lo mismo ocurre con todos los $p_{j,k}(M_j)$ . Ahora forme todos los productos distintos $$ P_{k_1,k_2,\cdots,k_J}=p_{1,k_1}(M_1)p_{2,k_2}(M_2)\cdots p_{L,k_J}(M_J). $$ La suma de todos estos productos es $I$ y cada uno de estos $P$ es una proyección. Descarte los productos que resulten $0$ . Porque el orden de los factores puede ser reordenado sin cambiar $P$ se deduce que $$ (M_{j}-\lambda_{j,k_{j}}I)P_{k_1,k_2,\cdots,k_J}=0,\;\;\; 1 \le j \le J. $$ Así que hay proyecciones no nulas $Q_{1},Q_{2},\cdots,Q_{m}$ cuya suma es $I$ cuyos productos son $0$ para factores distintos, y tal que cada $M_{j}$ es un múltiplo escalar de la identidad en el rango de un determinado $Q_{k}$ . Elija una base para cada uno de los rangos de $Q_{j}$ . La combinación de estas bases produce una base con respecto a la cual cada $M_j$ tiene una representación diagonal.
