En el espacio-tiempo plano la energía potencial eléctrica entre dos cargas es $\frac{k Q_1 Q_2}{r_{12}}$ , donde $Q$ son cargas y $r_{12}$ es la distancia entre ellos. ¿Qué pasaría si las dos cargas se colocan en un espacio-tiempo fuertemente curvado, que hace que las medidas de "distancia" y "duración" sean diferentes de un lugar a otro? ¿Sentirán las dos la misma fuerza eléctrica/energía potencial?
Respuesta
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En un espaciotiempo curvo general, el problema es complicado y obviamente no se puede acabar con la "misma" fórmula, especialmente si se interpreta $r_{12}$ de forma aleatoria, por ejemplo, como la distancia propia entre los dos puntos. Tal fórmula es seguramente incorrecta.
Para resolver el problema, hay que resolver las ecuaciones de campo como $$\nabla\cdot \vec D = \rho $$ en un espaciotiempo curvo dado. Pues bien, hay que escribir estas ecuaciones utilizando $F_{\mu\nu}$ con el tratamiento relativista general de los índices - debe utilizar las ecuaciones completas de Einstein-Maxwell. Ten en cuenta que, en la relatividad general, también debes aceptar que el propio campo eléctrico contribuirá también a la curvatura del espaciotiempo.
El resultado dependerá de la forma precisa del espacio. Puede determinar la masa/energía total (tenga en cuenta que $E=mc^2$ en la relatividad) ya sea de $Q_1 \phi_2$ calculado de una manera u otra, y teniendo en cuenta los corrimientos al rojo propios, o como la energía ADM, es decir, a partir de la curvatura asintótica inducida por la configuración de las cargas.
