Supongamos que $a, b$ y $n$ son enteros positivos. Demostrar que $a^n$ divide $b^n$ si y sólo si $a$ divide $b$ .

Question

Creo que la factorización de primos es necesaria para esta pregunta:

Supongamos que $a$ , $b$ y $n$ son enteros positivos. Demostrar que $a^n$ divide $b^n$ si y sólo si a divide a $b$ .

Answer 1

Un lado es trivial. Entonces supongamos $b = p_{1}^{m_{1}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{m_{k}}$ y $a = q_{1}^{l_{1}} \cdot \ldots \cdot q_{h}^{l_{h}}$ , donde $p_{i}$ y $q_{j}$ son primos. Entonces $b^{n} = p_{1}^{nm_{1}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{nm_{k}}$ y $a^{n} = q_{1}^{nl_{1}} \cdot \ldots \cdot q_{h}^{nh_{l}}$ . Desde $a^{n}$ divide $b^{n}$ todos los primos que aparecen en la factorización de $a^{n}$ aparecen en la de $b^{n}$ y tienen un exponente menor. Tenemos $h \leq k$ y podemos reordenar de forma que $q_{i}=p_{i}$ para $i \leq h$ . Entonces tenemos $b^{n}=p_{1}^{n\left(l_{1} + \left( m_{1} - l_{1}\right)\right)} \cdot \ldots \cdot p_{h}^{n\left(l_{h} + \left( m_{h} - l_{h}\right)\right)} \cdot p_{h+1}^{nm_{h+1}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{nm_{k}}$ . Por lo tanto, el contingente es $p_{1}^{n\left( m_{1} - l_{1}\right)} \cdot \ldots \cdot p_{h}^{n \left( m_{h} - l_{h}\right)} \cdot p_{h+1}^{nm_{h+1}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{nm_{k}}$ ; observe que todo exponente es divisible por $n$ para que podamos extraer el $n^{th}$ raíz y ya está.

Answer 2

Sugerencia $\,\ \dfrac{b^n}{a^n} = k\in \Bbb Z$ $\ \Rightarrow\ $ $x = \dfrac{b}a\ $ raíz de $\ x^n\!-k$ $\!\!\!\!\underbrace{\Rightarrow\,x\in\Bbb Z}_{\text{ Rational Root Test}}\!\!\!\!\!$ $\,\Rightarrow\, a\mid b $

Answer 3

La factorización de primos no es necesaria: sólo necesitamos el hecho de que cada número entero $\ne\pm1$ tiene un divisor primo.
Definir $r=a/b\in\mathbb Q.$ Como $b^n\mid a^n,$ sabemos $r^n\in\mathbb Z.$
Escribe $r=a'/b'$ con $\gcd(a',b')=1.$ Dejemos que $s=r^n.$ Entonces $r^n=s$ implica que $(a')^n=(b')^n\cdot s.$ Esto demuestra que todo divisor primo de $b'$ divide $(a')^n;$ por la definición de primo, esto significa que todo divisor primo de $b'$ divide $a'.$ Esto contradice $\gcd(a',b')=1.$ Por lo tanto, $b'$ no tiene ningún divisor primo, y es igual a $\pm1.$ Así, $r=a/b=a'/b'=\pm a'\in\mathbb Z.$ Así que $b$ divide $a.$

Espero que esto ayude.

P.D.
Lo contrario es trivial: si $b$ divide $a,$ entonces $a/b$ es un número entero, por lo que $a^n/b^n=(a/b)^n$ también es un número entero y $b^n$ divide $a^n.$