¿Cuál es la notación más estándar para el conjunto de vecindades de un punto $p$ en un espacio topológico $X$ ?
He visto $\mathcal{U}_X(p)$ y también $\mathcal{N}_X(p)$ pero nunca tuve la impresión de que esas anotaciones fueran estándar. Tampoco he podido encontrar ninguna respuesta a esto en Google.
¿Y qué pasa con los barrios abiertos?
Aclaración : En realidad, estoy buscando anotaciones estándar, así que espero que esta pregunta no se interprete como una opinión.
Nota: No existe una notación estándar para el conjunto de vecindades de un punto $p$ en un espacio topológico. La lengua materna de los matemáticos podría tener preferencia, si tienden a
$\mathcal{U}_X(p)$ que indica la primera letra del término alemán Umgebung o a
$\mathcal{N}_X(p)$ que indica la primera letra del término inglés barrio .
Convenciones notacionales de los grandes: Una pequeña selección de definiciones de autores cuyos libros suelen considerarse clásicos.
Elementos de matemáticas; topología general, capítulos 1-4 de N. Bourbaki: Encontramos en la sección 2: Barrios
Definición 4: Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $A$ cualquier subconjunto de $X$ . Un barrio de $A$ es cualquier subconjunto de $X$ que contiene un conjunto abierto que contiene $A$ . ... (y después:) Denotemos por $\mathcal{B}(x)$ el conjunto de todas las vecindades de $x$ .
Topología general por R. Engelking: Encontramos en la sección 1.1: Espacios topológicos. Conjuntos abiertos y cerrados. Bases. Cierre e interior de un conjunto.
Si para algunos $x\in X$ y un conjunto abierto $U\subset X$ tenemos $x\in U$ decimos que $U$ es un barrio de $x$ .
Observamos el término barrio por sí mismo no es estándar, ya que algunos autores definen barrio que otros definen como barrio abierto . Esto hace aún más difícil considerar una notación específica para el conjunto de vecindades de $x$ como notación estándar.
Topología general por J.L. Kelley. Encontramos en el capítulo 1: Topologías y vecindades en el párrafo anterior al Teorema 1:
Un conjunto $U$ en un espacio topológico $(X,\mathcal{T})$ es un barrio ( $\mathcal{T}$ -) de un punto $x$ si $U$ contiene un conjunto abierto al que $x$ pertenece. Una vecindad de un punto no tiene por qué ser un conjunto abierto, pero todo conjunto abierto es una vecindad de cada uno de sus puntos. ... (y más adelante:) El sistema vecinal de un punto es la familia de todas las vecindades del punto.
Teorema 2: Si $\mathcal{U}$ es el sistema de vecindad de un punto, ...
Conclusión: En primer lugar, debemos recordar que el término barrio no está definida de forma única en la literatura. Siempre hay que comprobar la definición utilizada por el autor. Las diferentes notaciones utilizadas por los autores anteriores indican claramente que no existe una notación estándar.
Como se indica en los comentarios y en la otra respuesta, la notación parece variar mucho. En su lugar, abordaré la "otra parte" de tu pregunta: "...¿qué pasa con los barrios abiertos?".
La razón es que uno puede definir las vecindades en términos de topología o definir una topología basada en un sistema de vecindad. Es como definir las relaciones de equivalencia en términos de una partición, o viceversa.
Explícitamente, podemos definir una vecindad, si ya se ha especificado una topología, como un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene el punto del que es una vecindad. Como se puede ver, las vecindades pueden ser "muy grandes", pero las "más grandes" no nos interesan mucho, en general (las topologías se "clasifican", en términos de "amabilidad", en su capacidad de distinguir puntos a nivel "pequeño", así que, por ejemplo, la topología indiscreta es "muy mala", es decir, poco útil).
Por otro lado, si definimos los barrios primero podemos definir una topología que consiste en conjuntos de vecindades que son vecindades de cada uno de sus elementos. Cualquiera de los dos enfoques nos llevará al mismo lugar, eventualmente (convénzase de esto).
En el análisis (en lugar de la "topología pura") se da cierta preferencia al enfoque del sistema de vecindad, porque el sistema de vecindad (en un punto $p$ ) forma un filtro, que se presta bien a las generalizaciones del concepto de convergencia en los espacios métricos. La topología general tiende a preocuparse más (aunque no siempre) por las propiedades "globales" del espacio, por lo que la importancia de los puntos particulares $p$ no es tan grande.
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