Supongamos $m$ ("sitios") son seleccionados en el ámbito de la unidad de $S^2$. Para un radio dado.$r < \pi$, podemos definir un disco alrededor de cualquier punto de la esfera como el conjunto de puntos a distancia geodésica en la mayoría de las $r$ a partir de ella. Deje $k$ ser el número máximo de sitios contenida en ninguno de dichos disco. Hay un buen límite inferior en $k$ en términos de $r$? En otras palabras, ¿cómo debe ser la función de $k(r)$ así que no importa de donde el $m$ se colocan los sitios, siempre podemos encontrar un disco de radio $r$ contiene $k(r)$ de ellos?
Espero que simplemente es $m$ multiplicado por la fracción de la superficie de la esfera cubierto por un disco. Después de todo, si el promedio de la densidad de los sitios de la esfera es $m/A$, debe haber algún disco cuya densidad es por lo menos de la media, ¿verdad? Esto podría ser demostrado fácilmente si usted podría azulejo de la esfera, con discos que no se solapan, pero no puede, así que no estoy seguro. Si resulta que dependen de la densidad de embalaje de los discos sobre una esfera, voy a ser feliz con un razonable límite inferior.
Si se sustituye la unidad de la esfera y de los discos con la unidad de bolas y las bolas pequeñas de radio $r < 1$$\mathbb R^3$, y el área de relación con el volumen, a continuación, el ingenuo supongo que no funciona. Usted puede tener $m/2$ sitios agrupados en torno a un punto cerca de la superficie de la unidad de la pelota y el otro $m/2$ sitios alrededor del punto antipodal, por lo que para $\sqrt[3]{\frac1{2}} < r < 1$, el volumen de una bola de radio $r$, más de la mitad de la unidad de la pelota, pero usted no puede conseguir más de $m/2$ sitios dentro de ella. Tal vez todavía funciona en algunos asintótica sentido; tengo curiosidad acerca de algo riguroso que se puede decir en este caso también.
Finalmente, a pesar de que he indicado más arriba para la 2-esfera y el balón $\mathbb R^3$, yo también estoy interesado en la generalización a dimensiones superiores.
