Déjame que te dé el esqueleto de una respuesta y luego puedo añadir más detalles si quieres.
Un sistema de arcos puede representarse como un conjunto de pares ordenados; por ejemplo, en el primer ejemplo el sistema de arcos superior es $$\{(1,12),(2,11),(3,10),(4,9),(5,6),(7,8)\}$$ y el sistema de arco inferior es $$\{(1,8),(2,5),(3,4),(6,7),(9,10),(11,12)\}.$$ Los números de cada par son siempre de paridad opuesta.
Definir la paridad de un sistema de arco como $$ \prod_{\text{pairs }(a,b)}(-1)^{\frac{b-a-1}{2}} $$ por lo que la paridad del sistema de arco superior es $-1$ y la paridad del sistema de arco inferior es $+1$ .
No es difícil ver que la paridad de un meandro $m$ (donde impar se identifica con $-1$ e incluso con $+1$ ) es igual al producto de las paridades de sus sistemas de arcos constitutivos y $(-1)^{\text{order}(m)}.$
EDITAR:
Consideremos un meandro en el que el sistema de arcos superior contiene dos pares de la forma $(a, b)$ y $(a+1,a+2)$ . Compárese con el meandro en el que sustituimos estos dos arcos por $(a,a+1)$ y $(b,a+2)$ . Es evidente que esto intercambia la paridad del meandro y del sistema de arco. Cualquier sistema de arco puede reducirse a $\{(1,2),\ldots,(2n-1,2n)\}$ por un número finito de estos movimientos.
(fin de la edición)
A continuación, contemos con los sistemas impar e incluso con los sistemas de arco. Dejemos que $A_{-1}(n)$ y $A_{+1}(n)$ sea el número de $-1$ y $+1$ sistemas de arco de paridad, respectivamente (conjunto formal $A_{+1}(0)=1$ y $A_{-1}(0)=0$ ). Entonces, al mirar lo que está emparejado con $1$ obtenemos las recursiones \begin{align*} A_{-1}(n)&=\sum_{i=0,2,\ldots} \big(A_{-1}(i)A_{+1}(n-i-1) + A_{+1}(i)A_{-1}(n-i-1)\big)\\ &+\sum_{i=1,3,\ldots}\big(A_{-1}(i)A_{-1}(n-i-1) + A_{+1}(i)A_{+1}(n-i-1)\big) \end{align*} y \begin{align*} A_{+1}(n)&=\sum_{i=1,3,\ldots} \big(A_{-1}(i)A_{+1}(n-i-1) + A_{+1}(i)A_{-1}(n-i-1)\big)\\ &+\sum_{i=0,2,\ldots}\big(A_{-1}(i)A_{-1}(n-i-1) + A_{+1}(i)A_{+1}(n-i-1)\big) \end{align*}
Un simple reordenamiento de las sumas muestra que $A_{+1}(2k)=A_{-1}(2k)$ lo que implica que ambos son $\frac{C_{2k}}{2}$ .
EDIT: argumento inductivo añadido.
El siguiente argumento inductivo muestra que $A_{\pm 1}(2k+1)=\frac{C_{2k+1}\pm(-1)^k C_k}{2}$ .
Si $n\equiv1\pmod 4$ entonces cuando $i$ es impar, entonces uno de $\{i,n-i-1\}$ es $1\pmod 4$ y uno es $3\pmod 4$ .
Por inducción, la suma anterior, para $A_{-1}(n)$ digamos, es: \begin{align*} A_{-1}(n)&= \sum_{i=0,2,\ldots} \frac{C_iC_{n-i-1}}{2}\\ &+\sum_{i=1,3,\ldots}\frac{1}{4}\left( \left(C_i+C_{\frac{i-1}{2}}\right)\left(C_{n-i-1} - C_{\frac{n-i-2}{2}}\right) + \left(C_i-C_{\frac{i-1}{2}}\right)\left(C_{n-i-1} + C_{\frac{n-i-2}{2}}\right)\right) \\ &=\sum_{i=0,1,2,\ldots} \frac{C_iC_{n-i-1}}{2} -\sum_{i=1,3,\ldots} \frac{C_{\frac{i-1}{2}}C_{\frac{n-i-2}{2}}}{2} \\ &=\frac{C_n}{2} -\sum_{j=0,1,2,\ldots}\frac{C_{j}C_{\frac{n-1}{2}-j-1}}{2} =\frac{C_n}{2} - \frac{C_{\frac{n-1}{2}}}{2}. \end{align*} Los otros casos de la inducción (para $n\equiv 3\pmod 4$ y/o si se quiere una inducción independiente para $A_{+1}(n)$ son similares.
(fin de la edición)
Entonces, utilizando la relación entre la paridad de los meandros y la paridad de los sistemas de arcos, el resultado se sigue por aritmética.
Puedo proporcionar más detalles sobre la recursión, el reordenamiento, el argumento inductivo o la aritmética final una vez que el $A_{\pm 1}$ se han determinado, si se desea.
