Analítica compleja $f$ con $f(z)=u(x)+iv(y)$ debe ser lineal?

Question

Pregunta:

Sea f una función tal que $$f(x+iy) = u(x) + iv(y)$$ (es decir, que u no depende de y y v no depende de $x$ ). Demostrar que si f es analítica en C entonces $f(z) = az + b$ para algunos elementos a, b de C.

Solución:

Como f es analítica, satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann.

$u_x = v_y$ , $u_y = -v_x$

Por definición $f'(z) = u_x + iv_x$

pero $v_x = 0$ así que

$f'(z) = u_x$

Ahora $u_x$ es un elemento de C. Llámalo a.

$f'(z) = a$

Integrando ambos lados con respecto a z obtenemos

f(z) = az + b

¿Se ve bien esto? Especialmente la parte en la que dejo $u_x = a$ ?

Answer 1

Bueno, inicialmente debemos pensar en $u_x$ como variable real función , no sólo algún elemento de $\Bbb C$ .

Sin embargo, desde $u_x=v_y$ podemos observar que el lado izquierdo es una función de $x$ y la derecha una función de $y$ , mientras que $x$ y $y$ son en -variables dependientes, por lo que ambos lados deben ser de hecho una constante, digamos $a$ . (De hecho, esta constante debe ser real, porque $u$ y $v$ son reales). Así, $u= ax+b$ y $v=ay+c$ para algunas constantes $b,c$ . Escribir $w=b+ci$ tenemos

$$f(z)=(ax+b)+i(ay+c)=a(x+iy)+(b+ic)=az+w,$$

que es lineal (o afín, según se entiendan los términos).