¿Diferencia entre biyección e isomorfismo?

Question

En primer lugar, permítanme admitir que sufro de una confusión fundamental aquí, y por lo tanto es probable que diga algo incorrecto. Sin pretensiones, sólo busco una buena explicación.

Existe un teorema del álgebra lineal según el cual dos espacios vectoriales son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión. También se sabe que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si y sólo si existe una biyección entre ellos. Aquí radica el problema...

Obviamente $|\mathbb{R}| = |\mathbb{R^2}| = \mathfrak c.$ Esto se suele afirmar como "hay tantos puntos en el plano como en la línea". ¿Por qué, entonces, son $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R^2}$ ¿no es isomorfo?

Tiene sentido intuitivo que no debería ser. Al fin y al cabo, sólo puedo "emparejar" cada punto en $\mathbb{R}$ con la primera coordenada de $\mathbb{R^2}.$ Sin embargo, no puedo confiar en esta intuición, porque falla al considerar la posibilidad de una biyección $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}!$

Más confuso aún: Como espacios vectoriales reales, $\mathbb{C}$ es isomorfo a $\mathbb{R^2}.$ Sin embargo, existe una biyección entre $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}$ (sólo hay que tener en cuenta la línea $\rightarrow$ ejemplo de avión como el anterior).

¡Si usted puede explicar el error en mi pensamiento, por favor ayude!

Answer 1

Para ampliar un poco la respuesta de Tobías. La noción de isomorfismo depende de la estructura (categoría en realidad) que estés estudiando.

Edición: Pete L. Clark ha señalado que he sido demasiado descuidado con mi respuesta original.

La idea de un isomorfismo es que los isomorfismos preservan toda la estructura que uno está estudiando. Esto significa que si $X,Y$ objetos en alguna categoría, entonces existen morfismos $f:X\rightarrow Y$ , $g:Y\rightarrow X$ tal que $f\circ g$ es la identidad en $Y$ y $g\circ f$ es la identidad en $X$ .

Para ser un poco más explícito, si $X$ y $Y$ son conjuntos, y existe una función biyectiva $X\rightarrow Y$ entonces podemos construir la inversa $f^{-1}:Y\rightarrow X$ . Esta función inversa está definida por $f^{-1}(y)=x$ si $f(x)=y$ . Tenemos que $f\circ f^{-1}=id_Y$ y $f^{-1}\circ f=id_X$ .

Pero si hablamos de espacios vectoriales, exigimos más. Queremos que dos espacios vectoriales sean isomorfos si podemos realizar la situación anterior mediante mapas lineales. Esto no siempre es posible, aunque existe una biyección (no se puede construir un mapa lineal invertible $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2$ ). En el caso lineal; si una función es invertible y lineal, su inversa también es lineal.

Sin embargo, en general, no es necesario que la función inversa de un mapa que preserva la estructura preserve la estructura. Pete señaló que la función $x\mapsto x^3$ es una función invertible. También es diferenciable. pero su inversa no es diferenciable en cero. Por tanto, $x\mapsto x^3$ no es un isomorfismo en la categoría de variedades diferenciables y mapas diferenciables.

Me gustaría concluir con lo siguiente. No podemos afirmar sin más que dos cosas son isomorfas. Depende del contexto. El isomorfismo es siempre en una categoría. En la categoría de conjuntos, los isomorfismos son biyecciones, en la categoría de espacios vectoriales los isomorfismos son mapas lineales invertibles, en la categoría de grupos los isomorfismos son isomorfismos de grupo. Esto puede resultar confuso. Por ejemplo $\mathbb{R}$ puede ser visto como muchas cosas. Es un conjunto. Es un espacio vectorial unidimensional sobre $\mathbb{R}$ . Es un grupo bajo adición. Es un anillo. Es una variedad diferenciable. Es un colector riemanniano. En todos estos $\mathbb{R}$ puede ser isomorfo (biyectivo, linealmente isomorfo, isomprico de grupo, isomorfo de anillo, difeomorfo, isometrico) a diferentes cosas. Todo depende del contexto.

Answer 2

La diferencia es que un isomorfismo no es un mapa biyectivo cualquiera. Debe ser un mapa lineal biyectivo (es decir, debe preservar la suma y la multiplicación escalar del espacio vectorial).

Así que aunque se tenga una biyección entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ no hay manera de hacer que esta biyección sea lineal (como se deduce de ver sus dimensiones)

Answer 3

En primer lugar, permítanme dar una definición general de isomorfismo . En un contexto en el que se le ha dado una noción de morfismo entre dos objetos, así como una noción de morfismo de identidad un isomorfismo es simplemente un morfismo $f : A \to B$ tal que existe un morfismo $g : B \to A$ donde tenemos compuestos $f \circ g = \mathrm{id}_B$ y $g \circ f = \mathrm{id}_A$ ; tal $g$ se llama morfismo inverso .

¿Qué significa esto en el contexto de los conjuntos? Bueno, un morfismo aquí es cualquier función, y el morfismo de identidad en un conjunto $A$ es la función que mapea $x \mapsto x$ . Así que se puede demostrar que un isomorfismo en este categoría de objetos es sólo una biyección de conjuntos.

¿Y en álgebra lineal? Los objetos en cuestión son espacios vectoriales sobre algún campo común $K$ y los morfismos son los $K$ -mapas lineales. Un isomorfismo, entonces, es un mapa lineal que admite un mapa lineal inverso. Resulta que un mapa lineal $f : A \to B$ tiene un inverso si y sólo si $f$ es biyectiva. Pero es no suficiente para que dos espacios vectoriales tengan la misma cardinalidad, ¡ya que no puede haber biyecciones que sean también mapas lineales! (Parece que éste es el quid de tu confusión).

También mencionaré ahora que hay categorías en las que los morfismos biyectivos no son isomorfismos. Por ejemplo, consideremos la categoría de espacios topológicos y mapas continuos. Entonces, existe un mapa continuo biyectivo desde el intervalo unitario semiabierto $[0, 1)$ al círculo $S^1$ ... pero no existe un mapa continuo biyectivo desde $S^1$ a $[0, 1)$ por lo que estos dos no son isomorfos como espacios topológicos.

Answer 4

Un isomorfismo (de espacios vectoriales) es una transformación lineal biyectiva entre estos espacios que preserva la suma y la multiplicación escalar.Ahora bien, como bien has dicho, $|\mathbb{R}| = |\mathbb{R}^2|$ por lo que ciertamente existen biyecciones entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ . La pregunta es si alguna de estas biyecciones preserva la suma y la multiplicación escalar. Por supuesto, es imposible comprobarlo directamente; es decir, es imposible escribir todas estas biyecciones y comprobar si alguna de ellas preserva la suma y la multiplicación escalar. Así que, en su lugar, utilizamos el teorema que has mencionado: dos espacios vectoriales son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión. Así que como $\mathbb{R}$ tiene dimensión $1$ (como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ tiene dimensión $2$ (de nuevo, como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ ) por lo que se deduce que no existe ningún isomorfismo entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ . En otras palabras, aunque existan biyecciones entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ Ninguno de ellos conservará la suma y/o la multiplicación escalar. Como observación final, debo mencionar que si se considera $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ como espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ entonces $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ serán isomorfas ya que ambas tendrán dimensión $\mathfrak{c}$ . Así que las afirmaciones " $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ son isomorfos como espacios vectoriales" o " $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ no son isomórficos como espacios vectoriales" son ambiguos; hay que especificar el campo sobre el que se trabaja (si es $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ o cualquier otra cosa).

Answer 5

Como muchos otros han señalado ya, un isomorfismo (en el contexto del álgebra) necesita mapear entre las operaciones implicadas, mientras que una biyección no. Una biyección es un mapa uno a uno entre dos conjuntos no estructurados. Un isomorfismo, en cambio, mapea entre dos conjuntos estructurados del mismo tipo o mapea entre los portadores de dos conjuntos estructurados, o se podría decir que un isomorfismo consiste en un mapa biyectivo entre dos conjuntos que también satisface la(s) ecuación(es) homomórfica(s) requerida(s) para las estructuras en cuestión. Entonces, te preguntarás, ¿por qué R y R^2 no son isomorfos? Bueno, podríamos tener sistemas (R, +) y (R^2, +, *) que ni siquiera son del mismo tipo y, por tanto, no tiene ningún sentido afirmar que R y R^2 son isomorfos.

Como ejemplo sencillo, consideremos el conjunto {0, 1} bajo la operación mínima o ({0, 1}, min) para abreviar, y ({2, 3}, max) donde max representa la operación máxima. Se pueden encontrar (espero que fácilmente) dos biyecciones entre {0, 1} y {2, 3}. Pero, sólo existe un isomorfismo entre ({0, 1}, min) y ({2, 3}, max).