Dejemos que $M=(X,\tau)$ sea una variedad topológica con límite. Se puede demostrar que el interior $Int(M)$ y el límite $\partial M$ del colector son conjuntos distintos.
Me preguntaba si alguien conoce una buena referencia para citar la prueba (Lee sólo presenta esta prueba como un ejercicio).
Gracias
Suponiendo que $n$ es la dimensión de $M$ se puede hacer con los siguientes cálculos de homología:
$x \in \text{Int}(M)$ si y sólo si $H_n(M,M-x;\mathbb{Z}) \approx \mathbb{Z}$ ,
$x \in \partial M$ si y sólo si $H_n(M,M-x;\mathbb{Z}) \approx 0$ .
El primero es una pieza del método inductivo estándar para demostrar $H_n(S^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ como se ve, por ejemplo, en la sección 2.1 de Hatcher.
La segunda es a nivel de una aplicación directa elemental que combina el teorema de la escisión, la secuencia exacta larga de la homología relativa y la invariancia de homotopía de la homología. La escisión se utiliza para hacer que el lado izquierdo sea isomorfo a $H_n(H^n, H^n - O;\mathbb{Z})$ donde $H^n$ denota el medio espacio cerrado superior $\{(x_1,…,x_n) \in \mathbb{R}^n \, | \, x_n \ge 0\}$ y $O$ es el origen.
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